\(f(x) = 1 -\cos x -x \sin x\) とする.
(1) \(0 \lt x \lt \pi\) において, \(f(x) = 0\) は唯一の解を持つことを示せ.
(2) \(J = \displaystyle\int _ 0^{\pi} \left| f(x) \right| \, dx\) とする. (1) の唯一の解を \(\alpha\) とするとき, \(J\) を \(\sin \alpha\) の式で表せ.
(3) (2) で定義された \(J\) と \(\sqrt{2}\) の大小を比較せよ.
\(a\) を正の整数とする. 正の実数 \(x\) についての方程式 \[ \text{(＊)} \quad x = \left[ \dfrac{1}{2} \left( x + \dfrac{a}{x} \right) \right] \] が解を持たないような \(a\) を小さい順に並べたものを \(a _ 1 , a _ 2 , a _ 3 , \cdots\) とする. ここに \([ ]\) はガウス記号で, 実数 \(u\) に対し, \([ u ]\) は \(u\) 以下の最大の整数を表す.
(1) \(a = 7 , 8 , 9\) の各々について (＊) の解があるかどうかを判定し, ある場合は解 \(x\) を求めよ.
(2) \(a _ 1 , a _ 2\) を求めよ.
(3) \(\textstyle\sum\limits _ {n=1}^{\infty} \dfrac{1}{a _ n}\) を求めよ.
\(1\) から \(n\) までの数字がもれなく一つずつ書かれた \(n\) 枚のカードの束から同時に \(2\) 枚のカードを引く. このとき, 引いたカードの数字のうち小さいほうが \(3\) の倍数である確率を \(p(n)\) とする.
(1) \(p(8)\) を求めよ.
(2) 正の整数 \(k\) に対し, \(p(3k+2)\) を \(k\) で表せ.
\(a\) を正の定数とする.
原点を \(O\) とする座標平面上に定点 \(A = A \ ( a, 0 )\) と, \(A\) と異なる動点 \(P = P \ ( x, y )\) をとる.
次の条件
\(A\) から \(P\) に向けた半直線上の点 \(Q\) に対し
\[
\dfrac{AQ}{AP} \leqq 2 \ \text{ならば} \ \dfrac{QP}{OQ} \leqq \dfrac{AP}{OA}
\]
を満たす \(P\) からなる領域を \(D\) とする. \(D\) を図示せよ.