(1) 辺の長さが \(1\) である正四面体OABCにおいて辺ABの中点をD, 辺OCの中点をEとする. \(2\) つのベクトル \(\overrightarrow{\text{DE}}\) と \(\overrightarrow{\text{AC}}\) との内積を求めよ.
(2) \(1\) から \(6\) までの目がそれぞれ \(\dfrac{1}{6}\) の確率で出るさいころを同時に \(3\) 個投げるとき, 目の積が \(10\) の倍数になる確率を求めよ.
(1) \(\log _ {10} 3 = 0.4771\) として, \(\textstyle\sum\limits _ {n=0}^{99} 3^n\) の桁数を求めよ.
(2) 実数 \(a\) に対して, \(a\) を超えない最大の整数を \([a]\) で表す. \(10000\) 以下の正の整数 \(n\) で \(\left[ \sqrt{n} \right]\) が \(n\) の約数となるものは何個ある.
\(3\) 次関数 \(y = x^3 -3x^2 +2x\) のグラフを \(C\) , 直線 \(y = ax\) を \(l\) とする.
(1) \(C\) と \(l\) が原点以外の共有点をもつような実数 \(a\) の範囲を求めよ.
(2) \(a\) が (1) で求めた範囲内にあるとき, \(C\) と \(l\) によって囲まれる部分の面積を \(S(a)\) とする. \(S(a)\) が最小となる \(a\) の値を求めよ.
\(n\) を正の整数とする. 数列 \(\{ a _ k \}\) を \[\begin{align} a _ 1 & = \dfrac{1}{n(n+1)} , \\ a _ {k+1} & = -\dfrac{1}{k+n+1} +\dfrac{n}{k} \textstyle\sum\limits _ {i=1}^k a _ i \quad ( k =1, 2, 3, \cdots ) \end{align}\] によって定める.
(1) \(a _ 2\) および \(a _ 3\) を求めよ.
(2) 一般項 \(a _ k\) を求めよ.
(3) \(b _ n =\textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \sqrt{a _ k}\) とおくとき, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} b _ n =\log 2\) を示せ.
\(A =\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) で定める \(1\) 次変換を \(f\) とする. 原点 O \((0,0)\) と異なる任意の \(2\) 点 P, Q に対して \(\dfrac{\text{OP'}}{\text{OP}} =\dfrac{\text{OQ'}}{\text{OQ}}\) が成り立つ. ただし, P', Q' はそれぞれ P, Q の \(f\) による像を表す.
(1) \(a^2+c^2 =b^2+d^2\) を示せ.
(2) \(1\) 次変換 \(f\) により, 点 \((1, \sqrt{3})\) が点 \((-4,0)\) に移るとき, \(A\) を求めよ.
\(xyz\) 空間に \(4\) 点 P \((0,0,2)\) , A \((0,2,0)\) , B \((\sqrt{3},-1,0)\) , C \((-\sqrt{3},-1,0)\) をとる. 四面体 PABC の \(x^2+y^2 \geqq 1\) をみたす部分の体積を求めよ.