1. (1)　\(2\) 次方程式 \(x^2-3x+5 = 0\) の \(2\) つの解 \(\alpha , \beta\) に対し, \({\alpha}^n +{\beta}^n -3^n\) はすべての正の整数 \(n\) について \(5\) の整数倍になることを示せ.

2. (2)　\(6\) 個のさいころを同時に投げるとき, ちょうど \(4\) 種類の目が出る確率を既約分数で表せ.

\(2\) 次の正方行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) に対して, \(\mathit{\Delta} (A) = ad-bc\) , \(t(A) = a+d\) と定める.

1. (1)　\(2\) 次の正方行列 \(A , B\) に対して, \(\mathit{\Delta} (AB) = \mathit{\Delta} (A) \mathit{\Delta} (B)\) が成り立つことを示せ.

2. (2)　\(A\) の成分がすべて実数で, \(A^5 = E\) が成り立つとき, \(x = \mathit{\Delta} (A)\) と \(y = t(A)\) の値を求めよ. ただし, \(E\) は \(2\) 次の単位行列とする.

\(k\) を定数とするとき, 方程式 \(e^x-x^e = k\) の異なる正の解の個数を求めよ.

正の整数 \(n\) に対し, \(0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\) の範囲において \(\sin 4nx \geqq \sin x\) を満たす \(x\) の区間の長さの総和を \(S _ n\) とする. このとき, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} S _ n\) を求めよ.

\(a , b\) を正の実数とし, 円 \(C _ 1 : \ (x-a)^2+y^2 = a^2\) と楕円 \(C _ 2 : \ x^2+\dfrac{y^2}{b^2} = 1\) を考える.

1. (1)　\(C _ 1\) と \(C _ 2\) に内接するための \(a , b\) の条件を求めよ.

2. (2)　\(b = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\) とし, \(C _ 1\) が \(C _ 2\) に内接しているとする. このとき, 第 \(1\) 象限における \(C _ 1\) と \(C _ 2\) の接点の座標を \((p,q)\) を求めよ.

3. (3)　(2) の条件のもとで, \(x \geqq p\) の範囲において, \(C _ 1\) と \(C _ 2\) で囲まれた部分の面積を求めよ.