\(3\) 以上の奇数 \(n\) に対して, \(a _ n\) と \(b _ n\) を次のように定める. \[ a _ n = \dfrac{1}{6} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n-1} (k-1) k (k+1) , \ \ b _ n = \dfrac{n^2-1}{8} \]
(1) \(a _ n\) と \(b _ n\) はどちらも整数であることを示せ.
(2) \(a _ n -b _ n\) は \(4\) の倍数であることを示せ.
\(a \gt 1\) とし, 次の不等式を考える. \[ \text{(＊)} \quad \dfrac{e^t -1}{t} \geqq e^{\frac{t}{a}} \]
(1) \(a = 2\) のとき, すべての \(t \gt 0\) に対して上の不等式 (＊) が成り立つことを示せ.
(2) すべての \(t \gt 0\) に対して上の不等式 (＊) が成り立つような \(a\) の範囲を求めよ.
\(1\) 個のさいころを投げて, 出た目が \(1\) か \(2\) であれば行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right)\) を, 出た目が \(3\) か \(4\) であれば行列 \(B = \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)\) を, 出た目が \(5\) か \(6\) であれば行列 \(C = \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) を選ぶ. そして, 選んだ行列の表す \(1\) 次変換によって \(xy\) 平面上の点 R を移すという操作を行う. 点 R は最初は点 \((0,1)\) にあるものとし, さいころを投げて点 R を移す操作を \(n\) 回続けて行ったときに点 R が点 \((0,1)\) にある確率を \(p _ n\) , 点 \((0,-1)\) にある確率を \(q _ n\) とする.
(1) \(p _ 1 , p _ 2\) と \(q _ 1 , q _ 2\) を求めよ.
(2) \(p _ n + q _ n\) と \(p _ {n-1} + q _ {n-1}\) の関係式を求めよ. また, \(p _ n - q _ n\) と \(p _ {n-1} - q _ {n-1}\) の関係式を求めよ.
(3) \(p _ n\) を \(n\) を用いて表せ.
点 P \((t,s)\) が \(s = \sqrt{2} t^2 -2t\) を満たしながら \(xy\) 平面上を動くとき, 点 P を原点を中心として \(45^{\circ}\) 回転した点 Q の軌跡として得られる曲線を \(C\) とする. さらに, 曲線 \(C\) と \(x\) 軸で囲まれた図形を \(D\) とする.
(1) 点 Q \((x,y)\) の座標を, \(t\) を用いて表せ.
(2) 直線 \(y = a\) と曲線 \(C\) がただ \(1\) つ共有点を持つような定数 \(a\) の値を求めよ.
(3) 図形 \(D\) を \(y\) 軸のまわりに \(1\) 回転して得られる回転体の体積 \(V\) を求めよ.
\( xy\) 平面上の曲線 \(C : \ y = x^3+x^2+1\) を考え, \(C\) 上の点 \((1,3)\) を \(\text{P} {} _ {0}\) とする. \(k = 1 , 2 , 3 , \cdots\) に対して, 点 \( \text{P} {} _ {k-1} \ ( x _ {k-1} , y _ {k-1} )\) における \(C\) の接線と \(C\) の交点のうちで \( \text{P} {} _ {k-1}\) と異なる点を \(\text{P} {} _ k \ ( x _ k , y _ k )\) とする. このとき, \( \text{P} {} _ {k-1}\) と \(\text{P} {} _ k\) を結ぶ線分と \(C\) によって囲まれた部分の面積を \(S _ k\) とする.
(1) \(S _ 1\) を求めよ.
(2) \(x _ k\) を \(k\) を用いて表せ.
(3) \(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{\infty} \dfrac{1}{S _ k}\) を求めよ.