座標平面において, 点 P \(( 0 , 1 )\) を中心とする半径 \(1\) の円を \(C\) とする. 　\(a\) を \(0 \lt a \lt 1\) を満たす実数とし, 直線 \(y = a( x+1 )\) と \(C\) との交点を Q , R とする.

1. (1)　\(\triangle \text{PQR}\) の面積 \(S(a)\) を求めよ.

2. (2)　\(a\) が \(0 \lt a \lt 1\) の範囲を動くとき, \(S(a)\) が最大となる \(a\) を求めよ.

実数 \(x\) の小数部分を, \(0 \leqq y \lt 1\) かつ \(x-y\) が整数となる実数 \(y\) のこととし, 　これを記号 \(\langle x \rangle\) で表す. 　実数 \(a\) に対して, 無限数列 \(\{ a _ n \}\) の各項 \(a _ n \quad ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )\) を次のように順次定める.

1. (i)　\(a _ 1 = \langle a \rangle\)

2. (ii)　\(\left\{ \begin{array}{ll} a _ {n+1} = \left\langle \dfrac{1}{a _ n} \right\rangle & \left( \ a _ n \neq 0 \ \text{のとき} \ \right) \\ \ a _ {n+1} = 0 & \left( \ a _ n = 0 \ \text{のとき} \ \right) \end{array} \right.\)

1. (1)　\(a = \sqrt{2}\) のとき, 数列 \(\{ a _ n \}\) を求めよ.

2. (2)　任意の自然数 \(n\) に対して \(a _ n = a\) となるような \(\dfrac{1}{3}\) 以上の実数 \(a\) をすべて求めよ.

3. (3)　\(a\) が有理数であるとする. \(a\) を整数 \(p\) と自然数 \(q\) を用いて \(a = \dfrac{p}{q}\) と表すとき, \(q\) 以上のすべての自然数 \(n\) に対して, \(a _ n = 0\) であることを示せ.

\(L\) を正定数とする. 座標平面の \(x\) 軸上の正の部分にある点 P \(( t , 0 )\) に対し, 原点 O を中心とし点 P を通る円周上を, P から出発して反時計回りに道のり \(L\) だけ進んだ点を Q \(\left( u(t) , v(t) \right)\) と表す.

1. (1)　\(u(t)\) , \(v(t)\) を求めよ.

2. (2)　\(0 \lt a \lt 1\) の範囲の実数 \(a\) に対し, 積分 \[ f(a) = \displaystyle\int _ a^1 \sqrt{\{ u'(t) \}^2 +\{ v'(t) \}^2} \, dt \] を求めよ.

3. (3)　極限 \(\displaystyle\lim _ {a \rightarrow +0} \dfrac{f(a)}{\log a}\) を求めよ.

座標平面上の \(1\) 点 P \(\left( \dfrac{1}{2} , \dfrac{1}{4} \right)\) をとる. 放物線 \(y = x^2\) 上の \(2\) 点 Q \(( \alpha , \alpha^2 )\) , R \(( \beta , \beta^2 )\) を, \(3\) 点 P , Q , R が QR を底辺とする二等辺三角形をなすように動かすとき, △PQR の重心 G \(( X , Y )\) の軌跡を求めよ.

\(p , q\) を \(2\) つの正の整数とする. 整数 \(a , b , c\) で条件 \[ -q \leqq b \leqq 0 \leqq a \leqq p , \quad b \leqq c \leqq a \] を満たすものを考え, このような \(a , b , c\) を \([ a , b ; c ]\) の形に並べたものを \(( p , q )\) パターンと呼ぶ. 各 \(( p , q )\) パターン \([ a , b ; c ]\) に対して \[ w \left( [ a , b ; c ] \right) = p -q -( a+b ) \] とおく.

1. (1)　\(( p , q )\) パターンのうち, \(w \left( [ a , b ; c ] \right) = -q\) となるものの個数を求めよ. また, \(w \left( [ a , b ; c ] \right) = p\) となる \(( p , q )\) パターンの個数を求めよ.

以下 \(p=q\) の場合を考える.

2. (2)　\(s\) を整数とする. \(( p , p )\) パターンで \(w \left( [ a , b ; c ] \right) = -p+s\) となるものの個数を求めよ.

3. (3)　\(( p , p )\) パターンの総数を求めよ.

1. (1)　\(x , y\) を実数とし, \(x \gt 0\) とする. \(t\) を変数とする \(2\) 次関数 \(f(t) = xt^2 +yt\) の \(0 \leqq t \leqq 1\) における最大値と最小値の差を求めよ.

2. (2)　次の条件を満たす点 \(( x , y )\) 全体からなる座標平面内の領域を \(S\) とする.
   「 \(x \gt 0\) かつ, 実数 \(z\) で \(0 \leqq t \leqq 1\) の範囲の全ての実数 \(t\) に対して, \[ 0 \leqq xt^2 +yt +z \leqq 1 \] 　を満たすようなものが存在する. 」
   \(S\) の概形を図示せよ.

3. (3)　次の条件を満たす点 \(( x , y , z )\) 全体からなる座標空間内の領域を \(V\) とする.
   「 \(0 \leqq x \leqq 1\) かつ, \(0 \leqq t \leqq 1\) の範囲の全ての実数 \(t\) に対して, \[ 0 \leqq x t^2 +yt +z \leqq 1 \] 　が成り立つ. 」
   \(V\) の体積を求めよ.