次の連立不等式で定まる座標平面上の領域 \(D\) を考える. \[ x^2 +(y-1)^2 \leqq 1 , \quad x \geqq \dfrac{\sqrt{2}}{3} \] 直線 \(\ell\) は原点を通り, \(D\) との共通部分が線分となるものとする. その線分の長さ \(L\) の最大値を求めよ. また, \(L\) が最大値をとるとき, \(x\) 軸と \(\ell\) のなす角 \(\theta \quad \left( 0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2} \right)\) の余弦 \(\cos \theta\) を求めよ.
図のように, 正三角形を \(9\) つの部屋に辺で区切り, 部屋P, Qを定める. \(1\) つの球が部屋Pを出発し, \(1\) 秒ごとに, そのままその部屋にとどまることなく, 辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する. 球が \(n\) 秒後に部屋Qにある確率を求めよ.
座標平面上で \(2\) つの不等式 \[ y \geqq \dfrac{1}{2} x^2 , \quad \dfrac{x^2}{4} +4y^2 \leqq \dfrac{1}{8} \] によって定まる領域を \(S\) とする. \(S\) を \(x\) 軸のまわりに回転してできる立体の体積を \(V _ 1\) とし, \(y\) 軸のまわりに回転してできる立体の体積を \(V _ 2\) とする.
(1) \(V _ 1\) と \(V _ 2\) の値を求めよ.
(2) \(\dfrac{V _ 2}{V _ 1}\) の値と \(1\) の大小を比較せよ.
\(n\) を \(2\) 以上の整数とする. 自然数（ \(1\) 以上の整数）の \(n\) 乗になる数を \(n\) 乗数と呼ぶことにする. 以下の問いに答えよ.
(1) 連続する \(2\) 個の自然数の積は \(n\) 乗数でないことを示せ.
(2) 連続する \(n\) 個の自然数の積は \(n\) 乗数でないことを示せ.
行列 \(A =\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) が次の条件 (D) を満たすとする.
\(B = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) とおく. 次の問いに答えよ.
(1) 行列 \(BA\) と \(B^{-1}A\) も条件 (D) を満たすことを示せ.
(2) \(c=0\) ならば, \(A\) に \(B\) , \(B^{-1}\) のどちらかを左から次々にかけることにより, \(4\) 個の行列 \(\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) , \(\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) , \(\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)\) , \(\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)\) のどれかにできることを示せ.
(3) \(|a| \geqq |c| >0\) とする. \(BA\) , \(B^{-1}A\) の少なくともどちらか一方は, それを \(\left( \begin{array}{cc} x & y \\ z & w \end{array} \right)\) とすると \[ |x|+|z| \lt |a|+|c| \] を満たすことを示せ.
\(2 \times 2\) 行列 \(P =\left( \begin{array}{cc} p & q \\ r & s \end{array} \right)\) に対して
\[
\text{Tr}(P) =p+s
\]
と定める.
\(a , b , c\) は \(a \geqq b >0\) , \(0 \leqq c \leqq 1\) を満たす実数とする. 行列 \(A , B , C , D\) を次で定める.
\[\begin{align}
A & = \left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & b \end{array} \right) , \quad B =\left( \begin{array}{cc} b & 0 \\ 0 & a \end{array} \right) , \\
C & =\left( \begin{array}{cc} a^c & 0 \\ 0 & b^c \end{array} \right) , \quad D = \left( \begin{array}{cc} b^{1-c} & 0 \\ 0 & a^{1-c} \end{array} \right)
\end{align}\]
また実数 \(x\) に対し \(U(x) =\left( \begin{array}{cc} \cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x \end{array} \right)\) とする.
このとき以下の問いに答えよ.
(1) 各実数 \(t\) に対して, \(x\) の関数 \[ f(x) = \text{Tr} \left( \left( U(t) A U(-t) -B \right) U(x) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) U(-x) \right) \] の最大値 \(m(t)\) を求めよ. （最大値をとる \(x\) を求める必要はない. ）
(2) すべての実数 \(t\) に対し \[ 2 \text{Tr} \left( U(t) C U(-t) D \right) \geqq \text{Tr} \left( U(t) A U(-t) +B \right) -m(t) \] が成り立つことを示せ.