実数 \(a , b\) に対し平面上の点 \(\text{P} {} _ n \ ( x _ n , y _ n )\) を \[\begin{align} ( x _ 0 , y _ 0 ) & = (1,0) \\ ( x _ {n+1} , y _ {n+1} ) & = ( ax _ n -by _ n , bx _ n +ay _ n ) \end{align}\] によって定める. このとき, 次の条件 (i) , (ii) がともに成り立つような \((a,b)\) をすべて求めよ.

1. (i)　\(\text{P} {} _ 0 = \text{P} {} _ 6\)

2. (ii)　\(\text{P} {} _ 0 , \text{P} {} _ 1 , \text{P} {} _ 2 , \text{P} {} _ 3 , \text{P} {} _ 4 , \text{P} {} _ 5\) は相異なる.

\(a\) を実数とし, \(x \gt 0\) で定義された関数 \(f(x)\) , \(g(x)\) を次のように定める. \[\begin{align} f(x) & = \dfrac{\cos x}{x} \\ g(x) & = \sin x +ax \end{align}\] このとき, \(y = f(x)\) のグラフと \(y = g(x)\) のグラフが \(x \gt 0\) において共有点をちょうど \(3\) つ持つような \(a\) をすべて求めよ.

A , B の \(2\) 人がいる. 投げたとき表裏の出る確率がそれぞれ \(\dfrac{1}{2}\) のコインが \(1\) 枚あり, 最初は A がそのコインを持っている. 次の操作を繰り返す.

1. (i)　A がコインを持っているときは, コインを投げ, 表が出れば A に \(1\) 点を与え, コインは A がそのまま持つ. 裏が出れば, 両者に点を与えず, A はコインを B に渡す.

2. (ii)　B がコインを持っているときは, コインを投げ, 表が出れば B に \(1\) 点を与え, コインは B がそのまま持つ. 裏が出れば, 両者に点を与えず, B はコインを A に渡す.

そしてA , B のいずれかが \(2\) 点を獲得した時点で, \(2\) 点を獲得した方の勝利とする. たとえば, コインが表, 裏, 表, 表と出た場合, この時点で A は \(1\) 点, B は \(2\) 点を獲得しているので, B の勝利となる.

1. (1)　A , B あわせてちょうど \(n\) 回コインを投げ終えたときに, A の勝利となる確率 \(p _ n\) を求めよ.

2. (2)　\(\sum\limits _ {n=1}^{\infty} p(n)\) を求めよ.

△ABC において, \(\angle \text{BAC} = 90^{\circ}\) , \(\left| \overrightarrow{\text{AB}} \right| = 1\) , \(\left| \overrightarrow{\text{AC}} \right| = \sqrt{3}\) とする. △ABC の内部の点 P が \[ \dfrac{\overrightarrow{\text{PA}}}{\left| \overrightarrow{\text{PA}} \right|} +\dfrac{\overrightarrow{\text{PB}}}{\left| \overrightarrow{\text{PB}} \right|} +\dfrac{\overrightarrow{\text{PC}}}{\left| \overrightarrow{\text{PC}} \right|} = \overrightarrow{0} \] を満たすとする.

1. (1)　\(\angle \text{APB}\) , \(\angle \text{APC}\) を求めよ.

2. (2)　\(\left| \overrightarrow{\text{PA}} \right|\) , \(\left| \overrightarrow{\text{PB}} \right|\) , \(\left| \overrightarrow{\text{PC}} \right|\) を求めよ.

次の命題Pを証明したい.

1. 命題P：次の条件 (a) , (b) をともにみたす自然数（ \(1\) 以上の整数） \(A\) が存在する.

   1. (a)　\(A\) は連続する \(3\) つの自然数の積である.

   2. (b)　\(A\) を \(10\) 進法で表したとき, \(1\) が連続して \(99\) 回以上現れるところがある.

以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(y\) を自然数とする. このとき不等式 \[ x^3+3yx^2 \lt (x+y-1)(x+y)(x+y+1) \lt x^3 +(3y+1)x^2 \] が成り立つような正の実数 \(x\) の範囲を求めよ.

2. (2)　命題Pを証明せよ.

座標空間において, \(xy\) 平面内で不等式 \(|x| \leqq 1\) , \(|y| \leqq 1\) により定まる正方形 \(S\) の \(4\) つの頂点を A \(( -1, 1, 0 )\) , B \(( 1, 1, 0 )\) , C \(( 1, -1, 0 )\) , D \(( -1, -1, 0 )\) とする. 　正方形 \(S\) を, 直線 BD を軸として回転させてできる立体を \(V _ 1\) , 　直線 AC を軸として回転させてできる立体を \(V _ 2\) とする.

1. (1)　\(0 \leqq t \lt 1\) を満たす実数 \(t\) に対し, 平面 \(x=t\) による \(V _ 1\) の切り口の面積を求めよ.

2. (2)　\(V _ 1\) と \(V _ 2\) の共通部分の体積を求めよ.