\(1\) 辺の長さが \(1\) の正方形を底面とする四角柱 OABC-DEFG を考える. \(3\) 点 P , Q , R を, それぞれ辺 AE , 辺 BF , 辺 CG 上に, \(4\) 点 O , P , Q , R が同一平面上にあるようにとる. 四角形 OPQR の面積を \(S\) とおく. また, \(\angle \text{AOP}\) を \(\alpha\) , \(\angle \text{COR}\) を \(\beta\) とおく.

1. (1)　\(S\) を \(\tan \alpha\) と \(\tan \beta\) を用いて表せ.

2. (2)　\(\alpha +\beta = \dfrac{\pi}{4}\) , \(S = \dfrac{7}{6}\) であるとき, \(\tan \alpha +\tan \beta\) の値を求めよ. さらに, \(\alpha \leqq \beta\) のとき, \(\tan \alpha\) の値を求めよ.

\(a\) を自然数（すなわち \(1\) 以上の整数）の定数とする. 白球と赤球があわせて \(1\) 個以上入っている袋 U に対して, 次の操作 (＊) を考える.

1. (＊)　袋 U から球を \(1\) 個取り出し,

   1. (i)　取り出した球が白球のときは, 袋 U の中身が白球 \(a\) 個, 赤球 \(1\) 個となるようにする.

   2. (ii)　取り出した球が赤球のときは, その球を袋 U へ戻すことなく, 袋Uの中身はそのままにする.

はじめに袋 U の中に, 白球が \(a+2\) 個, 赤球が \(1\) 個入っているとする. この袋 U に対して操作 (＊) を繰り返し行う. たとえば, \(1\) 回目の操作で白球が出たとすると, 袋 U の中身は白球 \(a\) 個, 赤球 \(1\) 個となり, さらに \(2\) 回目の操作で赤球が出たとすると, 袋 U の中身は白球 \(a\) 個のみとなる. \(n\) 回目に取り出した球が赤球である確率を \(p _ n\) とする. ただし, 袋 U の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする.

1. (1)　\(p _ 1\) , \(p _ 2\) を求めよ.

2. (2)　\(n \geqq 3\) に対して \(p _ n\) を求めよ.

3. (3)　\(\displaystyle\lim _ {m \rightarrow \infty} \dfrac{1}{m} \textstyle\sum\limits _ {n=1}^m p _ n\) を求めよ.

\(u\) を実数とする. 座標平面上の \(2\) つの放物線 \[\begin{align} C _ 1 : \quad & y = -x^2+1 \\ C _ 2 : \quad & y = (x-u)^2+u \end{align}\] を考える. \(C _ 1\) と \(C _ 2\) が共有点をもつような \(u\) の値の範囲は, ある実数 \(a , b\) により, \(a \leqq x \leqq b\) と表される.

1. (1)　\(a , b\) の値を求めよ.

2. (2)　\(u\) が \(a \leqq x \leqq b\) をみたすとき, \(C _ 1\) と \(C _ 2\) の共有点を \(\text{P} {} _ 1 \ ( x _ 1 , y _ 1 )\) , \(\text{P} {} _ 2 \ ( x _ 2 , y _ 2 )\) とする. ただし, 共有点が \(1\) 点のみのときは, \(\text{P} {} _ 1\) と \(\text{P} {} _ 2\) は一致し, ともにその共有点を表すとする. \[ 2 \left| x _ 1 y _ 2 -x _ 2 y _ 1 \right| \] を \(u\) の式で表せ.

3. (3)　(2) で得られる \(u\) の式を \(f(u)\) とする. 定積分 \[ I = \displaystyle\int _ a^b f(u) \, du \] を求めよ.

\(p ,q\) は実数の定数で, \(0 \lt p \lt 1\) , \(q \gt 0\) をみたすとする. 関数 \[ f(x) = (1-p) x +(1-x)( 1-e^{-qx} ) \] を考える. 以下の問いに答えよ. 必要であれば, 不等式 \(1+x \leqq e^x\) がすべての実数 \(x\) に対して成り立つことを証明なしに用いてよい.

1. (1)　\(0 \lt x \lt 1\) のとき, \(0 \lt f(x) \lt 1\) であることを示せ.

2. (2)　\(x _ 0\) は \(0 \lt x _ 0 \lt 1\) をみたす実数とする. 数列 \(\left\{ x _ n \right\}\) の各項 \(x _ n \ ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )\) を, \[ x _ n = f( x _ {n-1} ) \] によって順次定める. \(p \gt q\) であるとき, \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} x _ n = 0 \] となることを示せ.

3. (3)　\(p \lt q\) であるとき, \[ c = f(c) , \quad 0 \lt c \lt 1 \] をみたす実数 \(c\) が存在することを示せ.

\(r\) を \(0\) 以上の整数とし, 数列 \(\{ a _ n \}\) を次のように定める. \[\begin{align} & a _ 1 = r , \quad a _ 2 = r+1 , \\ & a _ {n+2} = a _ {n+1} ( a _ n +1 ) \quad ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) \end{align}\] また, 素数 \(p\) を \(1\) つとり, \(a _ n\) を \(p\) で割った余りを \(b _ n\) とする. ただし, \(0\) を \(p\) で割った余りは \(0\) とする.

1. (1)　自然数 \(n\) に対し, \(b _ {n+2}\) は \(b _ {n+1} ( b _ n +1 )\) を \(p\) で割った余りと一致することを示せ.

2. (2)　\(r=2\) , \(p=17\) の場合に, \(10\) 以下のすべての自然数 \(n\) に対して, \(b _ n\) を求めよ.

3. (3)　ある \(2\) つの相異なる自然数 \(n , m\) に対して, \[ b _ {n+1} = b _ {m+1} \gt 0 , \quad b _ {n+2} = b _ {m+2} \] が成り立つとする. このとき \(b _ n = b _ m\) が成り立つことを示せ.

4. (4)　\(a _ 2 , a _ 3 , a _ 4 , \cdots\) に \(p\) で割り切れる数が現れないとする. このとき, \(a _ 1\) も \(p\) で割り切れないことを示せ.

座標平面の原点を O で表す. 線分 \(y = \sqrt{3} x \quad ( 0 \leqq x \leqq 2 )\) 上の点 P と, 線分 \(y = - \sqrt{3} x \quad ( -2 \leqq x \leqq 0 )\) 上の点 Q が, 線分 OP と線分 OQ の長さの和が \(6\) となるように動く. このとき, 線分 PQ の通過する領域を \(D\) とする.

1. (1)　\(s\) を \(0 \leqq s \leqq 2\) をみたす実数とするとき, 点 \((s,t)\) が \(D\) に入るような \(t\) の範囲を求めよ.

2. (2)　\(D\) を図示せよ.