正の実数 \(a\) に対して, 座標平面上で次の放物線を考える. \[ C \ : \ y = ax^2 +\dfrac{1 -4a^2}{4a} \] \(a\) が正の実数全体を動くとき, \(C\) の通過する領域を図示せよ.

どの目も出る確率が \(\dfrac{1}{6}\) のさいころを \(1\) つ用意し, 次のように左から順に文字を書く.
さいころを投げ, 出た目が \(1, 2, 3\) のときは文字列 A A を書き, \(4\) のときは文字 B を, \(5\) のときは文字 C を, \(6\) のときは文字 D を書く. さらに繰り返しさいころを投げ, 同じ規則に従って, A A, B, C, D をすでにある文字列の右側につなげて書いていく.
たとえば, さいころを \(5\) 回投げ, その出た目が順に \(2, 5, 6, 3, 4\) であったとすると, 得られる文字列は \[ \text{A A C D A A B} \] となる. このとき, 左から \(4\) 番目の文字は D, \(5\) 番目の文字は A である.

1. (1)　\(n\) を正の整数とする. \(n\) 回さいころを投げ, 文字列をつくるとき, 文字列の左から \(n\) 番目の文字が A となる確率を求めよ.

2. (2)　\(n\) を \(2\) 以上の整数とする. \(n\) 回さいころを投げ, 文字列を作るとき, 文字列の左から \(n-1\) 番目の文字が A で, かつ \(n\) 番目の文字が B となる確率を求めよ.

\(a\) を正の実数とし, \(p\) を正の有理数とする.
座標平面上の \(2\) つの曲線 \(y = ax^p \ ( x \gt 0 )\) と \(y = \log x \ ( x \gt 0 )\) を考える. この \(2\) つの曲線の共有点が \(1\) 点のみであるとし, その共有点をQとする.
以下の問いに答えよ. 必要であれば, \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} \dfrac{x^p}{\log x} = \infty\) を証明なしに用いてもよい.

1. (1)　\(a\) および点 Q の \(x\) 座標を \(p\) を用いて表せ.

2. (2)　この \(2\) つの曲線と \(x\) 軸で囲まれる図形を, \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体の体積を \(p\) を用いて表せ.

3. (3)　(2) で得られる立体の体積が \(2 \pi\) になるときの \(p\) の値を求めよ.

数列 \(\{ p _ n \}\) を次のように定める. \[ p _ 1 = 1 , \ p _ 2 = 2 , \ p _ {n+2} = \dfrac{{p _ {n+1}^2 +1}}{p _ n} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \]

1. (1)　\(\dfrac{{p _ {n+1}}^2 +{p _ n}^2 +1}{p _ {n+1} p _ n}\) が \(n\) によらないことを示せ.

2. (2)　すべての \(n = 2, 3, 4, \cdots\) に対し, \(p _ {n+1} +p _ {n-1}\) を \(p _ n\) のみを使って表せ.

3. (3)　数列 \(\{ q _ n \}\) を次のように定める. \[ q _ 1 = 1 , \ q _ 2 = 1 , \ q _ {n+2} = q _ {n+1} +q _ n \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] すべての \(n = 1, 2, 3, \cdots\) に対し, \(p _ n = q _ {2n-1}\) を示せ.

\(m\) を \(2015\) 以下の正の整数とする. \({} _ {2015} \text{C} {} _ m\) が偶数となる最小の \(m\) を求めよ.

\(n\) を正の整数とする. 以下の問いに答えよ.

1. (1)　関数 \(g(x)\) を次のように定める. \[ g(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{\cos ( \pi x ) +1}{2} & ( \ |x| \leqq 1 \text{のとき} \ ) \\ 0 & ( \ |x| \gt 1 \text{のとき} \ ) \end{array} \right. \] \(f(x)\) を連続な関数とし, \(p , q\) を実数とする. \(|x| \leqq \dfrac{1}{n}\) をみたす \(x\) に対して \(p \leqq f(x) \leqq q\) が成り立つとき, 次の不等式を示せ. \[ p \leqq n \displaystyle\int _ {-1}^1 g(nx) f(x) \, dx \leqq q \]
2. (2)　関数 \(h(x)\) を次のように定める. \[ h(x) = \left\{ \begin{array}{ll} -\dfrac{\pi}{2} \sin ( \pi x ) & ( \ |x| \leqq 1 \text{のとき} \ ) \\ 0 & ( \ |x| \gt 1 \text{のとき} \ ) \end{array} \right. \] このとき, 次の極限を求めよ. \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} n^2 \displaystyle\int _ {-1}^1 h(nx) \log ( 1 +e^{x+1} ) \, dx \]