\(f(x) , g(t)\) を \[\begin{align} f(x) & = x^3-x^2-2x+1 \\ g(t) & = \cos 3t -\cos 2t +\cos t \end{align}\] とおく.
(1) \(2 g(t) -1 = f( 2 \cos t )\) が成り立つことを示せ.
(2) \(\theta = \dfrac{\pi}{7}\) のとき, \(2 g( \theta ) \cos \theta = 1 +\cos \theta -2 g( \theta )\) が成り立つことを示せ.
(3) \(2 \cos \dfrac{\pi}{7}\) は \(3\) 次方程式 \(f(x) = 0\) の解であることを示せ.
\(n\) は自然数とする.
(1) \(1 \leqq k \leqq n\) を満たす自然数 \(k\) に対して \[ \displaystyle\int _ {\frac{k-1}{2n} \pi}^{\frac{k}{2n} \pi} \sin 2nt \cos t \, dt = (-1)^{k+1} \dfrac{2n}{4n^2-1} \left( \cos \dfrac{k}{2n} \pi +\cos \dfrac{k-1}{2n} \pi \right) \] が成り立つことを示せ.
(2) 媒介変数 \(t\) によって \[ x = \sin t , \ y = \sin 2nt \ （ 0 \leqq t \leqq \pi ） \] と表される曲線 \(C _ n\) で囲まれた部分の面積 \(S _ n\) を求めよ. ただし必要なら \[ \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n-1} \cos \dfrac{k}{2n} \pi = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{\tan \frac{\pi}{4n}} -1 \right) \quad ( n \geqq 2 ) \] を用いてもよい.
(3) 極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} S _ n\) を求めよ.
\(xyz\) 空間において, 点 \(A (1,0,0)\) , \(B (0,1,0)\) , \(C (0,0,1)\) を通る平面上にあり, 正三角形 \(ABC\) に内接する円板 \(D\) とする. 円板 \(D\) の中心を \(P\) , 円板 \(D\) と辺 \(AB\) の接点を \(Q\) とする.
(1) 点 \(P\) と点 \(Q\) の座標を求めよ.
(2) 円板 \(D\) が平面 \(z = t\) と共有点をもつ \(t\) の範囲を求めよ.
(3) 円板 \(D\) と平面 \(z = t\) の共通部分が線分であるとき, その線分の長さを \(t\) を用いて表せ.
(4) 円板 \(D\) を \(z\) 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ.
\(3\) つの数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \} , \{ c _ n \}\) が \[\begin{align} a _ {n+1} & = -b _ n -c _ n \quad ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) \\ b _ {n+1} & = -c _ n -a _ n \quad ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) \\ c _ {n+1} & = -a _ n -b _ n \quad ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) \end{align}\] および \(a _ 1 = a\) , \(b _ 1 = b\) , \(c _ 1 = c\) を満たすとする. ただし, \(a , b , c\) は定数とする.
(1) \(p _ n = a _ n +b _ n +c _ n \ ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )\) で与えられる数列 \(\{ p _ n \}\) の初項から第 \(n\) 項までの和 \(S _ n\) を求めよ.
(2) 数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \} , \{ c _ n \}\) の一般項を求めよ.
(3) \(q _ n = (-1)^n \left\{ (a _ n)^2 +(b _ n)^2 +(c _ n)^2 \right\} \ ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )\) で与えられる数列 \(\{ q _ n \}\) の初項から第 \(2n\) 項までの和を \(T _ n\) とする. \(a+b+c\) が奇数であれば, すべての自然数 \(n\) に対して \(T _ n\) が正の奇数であることを数学的帰納法を用いて示せ.
\(2\) 次の正方行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) について以下の問いに答えよ. ただし \(a , b , c , d\) は実数とする.
(1) \(A^2 = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)\) を満たす \(A\) は存在しないことを示せ.
(2) \(A^2 = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right)\) を満たす \(A\) をすべて求めよ.
(3) (2) で求めた \(A\) のそれぞれについて \(A+A^2+A^3+ \cdots +A^{2013}\) を求めよ.
楕円 \(C : \ \dfrac{x^2}{16} +\dfrac{y^2}{9} = 1\) の, 直線 \(y = mx\) と平行な \(2\) 接線を \(\ell _ 1 , \ell' _ 1\) とし, \(\ell _ 1 , \ell' _ 1\) に直交する \(C\) の \(2\) 接線を \(\ell _ 2 , \ell' _ 2\) とする.
(1) \(\ell _ 1 , \ell' _ 1\) の方程式を \(m\) を用いて表せ.
(2) \(\ell _ 1\) と \(\ell' _ 1\) の距離 \(d _ 1\) および \(\ell _ 2\) と \(\ell' _ 2\) の距離 \(d _ 2\) をそれぞれ \(m\) を用いて表せ. ただし, 平行な \(2\) 直線 \(\ell , \ell'\) の距離 \(d\) とは, \(\ell\) 上の \(1\) 点と直線 \(\ell'\) の距離である.
(3) \((d _ 1)^2+(d _ 2)^2\) は \(m\) によらず一定であることを示せ.
(4) \(\ell _ 1 , \ell' _ 1 , \ell _ 2 , \ell' _ 2\) で囲まれる長方形の面積 \(S\) を \(d _ 1\) を用いて表せ. さらに \(m\) が変化するとき, \(S\) の最大値を求めよ.