\(f(x) = x^3 -x\) とする. \(y = f(x)\) のグラフに点 \(P \ ( a , b )\) から引いた接線は \(3\) 本あるとする. \(3\) つの接点 A \(\left( \alpha , f( \alpha ) \right)\) , B \(\left( \beta , f( \beta ) \right)\) , C \(\left( \gamma , f( \gamma ) \right)\) を頂点とする三角形の重心を \(G\) とする.

1. (1)　\(\alpha +\beta +\gamma\) , \(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha\) および \(\alpha \beta \gamma\) を \(a , b\) を用いて表せ.

2. (2)　点 \(G\) の座標を \(a , b\) を用いて表せ.

3. (3)　点 \(G\) の \(x\) 座標が正で, \(y\) 座標が負となるような点 \(P\) の範囲を図示せよ.

解答

(1)

\[ f'(x) = 3x^2 -1 \] なので, 点 \(\left( t , f(t) \right)\) における接線の式は \[\begin{align} y & = \left( 3t^2 -1 \right) (x-t) +t^3 -t \\ & = \left( 3t^2 -1 \right) x -2 t^2 \end{align}\] これが \(P\) を通るので \[\begin{gather} b = \left( 3t^2 -1 \right) a -2 t^2 \\ \text{∴} \quad 2t^3 -3a t^2 +a +b = 0 \quad ... [1] \end{gather}\] \(\alpha , \beta , \gamma\) は, \(t\) についての \(3\) 次方程式 [1] の異なる \(3\) つの解なので, 解と係数の関係より \[ \underline{\left\{ \begin{array}{l} \alpha +\beta +\gamma = \dfrac{3a}{2} \\ \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha = 0 \\ \alpha \beta \gamma = -\dfrac{a+b}{2} \end{array} \right.} \]

(2)

\(G \ \left( \dfrac{\alpha +\beta +\gamma}{3} , \dfrac{f( \alpha ) +f( \beta ) +f( \gamma )}{3} \right)\) と表せる.
ここで, (1) の結果も用いれば \[\begin{align} f( \alpha ) & +f( \beta ) +f( \gamma ) \\ & = \left( {\alpha}^3 +{\beta}^3 +{\gamma}^3 \right) -( \alpha +\beta +\gamma ) \\ & = ( \alpha +\beta +\gamma ) \left\{ ( \alpha +\beta +\gamma )^2 -3 ( \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ) \right\} \\ & \qquad +3 \alpha \beta \gamma -( \alpha +\beta +\gamma ) \\ & = \dfrac{3a}{2} \left\{ \left( \dfrac{3a}{2} \right)^2 -3 \cdot 0 \right\} -\dfrac{3 (a+b)}{2} -\dfrac{3a}{2} \\ & = \dfrac{27 a^3}{8} -3a -\dfrac{3b}{2} \end{align}\] よって \[ G \ \underline{\left( \dfrac{a}{2} , \dfrac{27 a^3}{8} -3a -\dfrac{3b}{2} \right)} \]

(3)

(2) の結果より \[\begin{align} \dfrac{a}{2} \gt 0 & , \ \dfrac{27 a^3}{8} -3a -\dfrac{3b}{2} \lt 0 \\ \text{∴} \quad a \gt 0 & , \ b \gt \dfrac{9 a^3}{4} -2a \quad ... [2] \end{align}\] あらためて, \(P\) から \(3\) 本の接線を引くことができる条件について考える.
[1] が異なる \(3\) つの実数解をもてばよいので, [1] の左辺を \(g(t)\) とおけば \[ g'(t) = 6t^2 -6at = 6t (t-a) \] \(a \neq 0\) ... [3] であれば \(g(t)\) は \(t = 0 , a\) で極値をとり, 考えたい条件は \[\begin{align} g(0) g(a) \lt 0 \\ \text{∴} \quad (a+b) \left( -a^3 +a +b \right) & \lt 0 \quad ... [4] \end{align}\] [2] ～ [4] より, 求める領域は下図斜線部（境界は含まない）.

\(xy\) 平面上の曲線 \(C : \ y = x \sin x +\cos x -1 \ ( 0 \lt x \lt \pi )\) に対して, 以下の問いに答えよ. ただし, \(3 \lt \pi \lt \dfrac{16}{5}\) であることは証明なしで用いてよい.

1. (1)　曲線 \(C\) と \(x\) 軸の交点はただ \(1\) つであることを示せ.

2. (2)　曲線 \(C\) と \(x\) 軸の交点を \(A \ ( \alpha , 0 )\) とする. \(\alpha \gt \dfrac{2}{3} \pi\) であることを示せ.

3. (3)　曲線 \(C\) , \(y\) 軸および直線 \(y = \dfrac{\pi}{2} -1\) で囲まれる部分の面積を \(S\) とする. また, \(xy\) 平面の原点 \(O\) , 点 \(A\) および曲線 \(C\) 上の点 \(B \ \left( \dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2} -1 \right)\) を頂点とする三角形 \(OAB\) の面積を \(T\) とする. \(S \lt T\) であることを示せ.

関数 \(f(x) = e^{-\frac{x^2}{2}}\) を \(x \gt 0\) で考える. \(y = f(x)\) のグラフの点 \(\left( a , f(a) \right)\) における接線を \(\ell _ a\) とし, \(\ell _ a\) と \(y\) 軸との交点を \(( 0 , Y(a) )\) とする. 以下の問いに答えよ. ただし, 実数 \(k\) に対して \(\displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} t^k e^{-t} = 0\) であることは証明なしで用いてもよい.

1. (1)　\(Y(a)\) がとりうる値の範囲を求めよ.

2. (2)　\(0 \lt a \lt b\) である \(a , b\) に対して, \(\ell _ a\) と \(\ell _ b\) が \(x\) 軸上で交わるとき, \(a\) のとりうる値の範囲を求め, \(b\) を \(a\) で表せ.

3. (3)　(2) の \(a , b\) に対して, \(Z(a) = Y(a) -Y(b)\) とおく. \(\displaystyle\lim _ {a \rightarrow +0} Z(a)\) および \(\displaystyle\lim _ {a \rightarrow +0} \dfrac{Z'(a)}{a}\) を求めよ.

平面上の直線 \(\ell\) に同じ側で接する \(2\) つの円 \(C _ 1 , C _ 2\) があり, \(C _ 1\) と \(C _ 2\) も互いに外接している. \(\ell , C _ 1 , C _ 2\) で囲まれた領域内に, これら \(3\) つと互いに接する円 \(C _ 3\) を作る. 同様に \(\ell , C _ n , C _ {n+1} \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) で囲まれた領域内にあり, これら \(3\) つと互いに接する円 \(C _ {n+2}\) とする. 円 \(C _ n\) の半径を \(r _ n\) とし, \(x _ n = \dfrac{1}{\sqrt{r _ n}}\) とおく. このとき, 以下の問いに答えよ. ただし, \(r _ 1 = 16\) , \(r _ 2 = 9\) とする.

1. (1)　\(\ell\) が \(C _ 1 , C _ 2 , C _ 3\) と接する点を, それぞれ \(A _ 1 , A _ 2 , A _ 3\) とおく. 線分 \(A _ 1 A _ 2 , A _ 1 A _ 3 , A _ 2 A _ 3\) の長さおよび \(r _ 3\) の値を求めよ.

2. (2)　ある定数 \(a , b\) に対して \(x _ {n+2} = a x _ {n+1} +b x _ n \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) となることを示せ. \(a , b\) の値も求めよ.

3. (3)　(2) で求めた \(a , b\) に対して, \(2\) 次方程式 \(t^2 = at +b\) の解を \(\alpha , \beta \ ( \alpha \gt \beta )\) とする. \(x _ 1 = c {\alpha}^2 +d {\beta}^2\) を満たす有理数 \(c , d\) の値を求めよ. ただし, \(\sqrt{5}\) が無理数であることは証明なしで用いてよい.

4. (4)　(3) の \(c , d , \alpha , \beta\) に対して, \[ x _ n = c {\alpha}^{n+1} +d {\beta}^{n+1} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] となることを示し, 数列 \(\{ r _ n \}\) の一般項を \(\alpha , \beta\) を用いて表せ.

実数を成分とする正方行列 \[ A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) , \ B = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{array} \right) , \ E = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \] について, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(AB = BA\) を満たす \(A\) は, \(x , y\) を用いて \(A = x B +y E\) と表せることを示せ.

2. (2)　\(A^3 = E\) のとき \[ ( t^2 -\Delta ) A = ( t \Delta +1 ) E \] を示せ. ただし, \(t = a+d\) , \(\Delta = ad -bc\) とする.

3. (3)　\(AB = BA\) かつ \(A^3 = E\) を満たす \(A\) をすべて求めよ.

解答

(1)

\[\begin{align} AB & = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a-b & a+2b \\ c-d & c+2d \end{array} \right) , \\ BA & = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a+c & b+d \\ -a+2c & -b+2d \end{array} \right) \end{align}\] \(AB = BA\) なので, 各成分を比較すると \[ \left\{ \begin{array}{ll} a-b = a+c & ... [1] \\ a+2b = b+d & ... [2] \\ c-d = a+2c & ... [3] \\ c+2d = -b+2d & ... [4] \end{array} \right. \] [1] [4] より \[ c = -b \] [2] [3] より \[ d = a+b \] よって \[ A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ -b & a+b \end{array} \right) = b A +(a-b) E \]

(2)

ケーリー・ハミルトンの定理より \[ A^2 = t A -\Delta E \] これを用いれば \[\begin{align} A^3 & = \left( t A -\Delta E \right) A \\ & = t \left( t A -\Delta E \right) -\Delta A \\ & = \left( t^2 -\Delta \right) A -\Delta t E = E \end{align}\] よって \[ \left( t^2 -\Delta \right) A = \left( \Delta t +1 \right) E \]

(3)

\[\begin{align} t & = a +(a+b) = 2a +b , \\ \Delta & = a (a+b) +b^2 = a^2 +ab +b^2 \end{align}\] (2) の結果から, 場合分けして考える.

1. 1*　\(t^2 -\Delta = 0\) のとき \[\begin{align} t^2 -\Delta & = (2a+b)^2 -( a^2 +ab +b^2 ) \\ & = 3a (a+b) = 0 \\ \text{∴} \quad & a = 0 , \ b = -a \end{align}\]

   • \(a = 0\) のとき \[\begin{align} t \Delta +1 & = b \cdot b^2 +1 = 0 \\ \text{∴} \quad b & = -1 \end{align}\] このとき \[ A = \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{array} \right) \]

   • \(b = -a\) のとき \[\begin{align} t \Delta +1 & = a \cdot a^2 +1 = 0 \\ \text{∴} \quad a & = -1 \end{align}\] このとき \[ A = \left( \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) \]

2. 2*　\(t^2 -\Delta \neq 0\) のとき
   \(A = k E\) （ \(k\) は実数）と表せるので \[\begin{align} A^3 & = k^3 E = E \\ \text{∴} \quad k & = 1 \end{align}\] このとき \[ A = E \]

以上より, 求める行列 \(A\) は \[ A = \underline{\left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{array} \right) , \left( \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) , \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)} \]

\(xy\) 平面上に楕円 \[ C _ 1 : \ \dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{y^2}{9} = 1 \quad ( a \gt \sqrt{13} ) \] および双曲線 \[ C _ 2 : \ \dfrac{x^2}{4} -\dfrac{y^2}{b^2} = 1 \quad \left( b \gt 0 \right) \] があり, \(C _ 1\) と \(C _ 2\) は同一の焦点をもつとする. また \(C _ 1\) と \(C _ 2\) の交点 \(P \ \left( 2 \sqrt{1 +\dfrac{t^2}{b^2}} , t \right) \ ( t \gt 0 )\) における \(C _ 1 , C _ 2\) の接線をそれぞれ \(\ell _ 1 , \ell _ 2\) とする.

1. (1)　\(a\) と \(b\) の間に成り立つ関係式を求め, 点 \(P\) の座標を \(a\) を用いて表せ.

2. (2)　\(\ell _ 1\) と \(\ell _ 2\) が直交することを示せ.

3. (3)　\(a\) が \(a \gt \sqrt{13}\) を満たしながら動くときの点 \(P\) の軌跡を図示せよ.