複素数 \(\alpha , \beta \ ( \alpha , \beta \neq 0 )\) に対して, \(p _ 1 = 3\) を初項とする数列 \(\{ p _ n \}\) を \[ p _ n = 1 +\alpha^{n-1} +\beta^{n-1} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] で定める. 以下の問に答えよ.
(1) \(p _ 2 \neq 0\) , \(p _ 4 \neq 0\) のどちらかが成立することを示せ.
(2) 数列 \(\{ p _ n \}\) がさらに次の条件をみたすとする.
(＊) 隣接する \(2\) 項の積はすべて \(0\) となる. すなわち \[ p _ n p _ {n+1} = 0 \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \]
定数 \(c\) に対して行列 \(A\) を \[ A = \left( \begin{array}{cc} 1 & c \\ 4 & -1 \end{array} \right) \] で定め, 直線 \(y = x+1\) 上の動点 P \(( t-1 , t )\) を \(A\) によって移動した点を Q とする. すなわち, \[ A \left( \begin{array}{c} t-1 \\ t \end{array} \right) \] に対応する点を Q とする. 定点 R とすべての \(t\) の値に対して, △PQR は P を直角の頂点とする直角三角形になるという. 以下の問に答えよ.
(1) 定点 R の座標および定数 \(c\) の値を求めよ.
(2) 三角形 PQR の外接円の面積の最小値と, そのときの \(t\) の値を求めよ.
曲線 \(y = e^{-x}\) と \(y = e^{-x} \left| \cos x \right|\) で囲まれた図形のうち, \((n-1) \pi \leqq x \leqq n \pi\) をみたす部分の面積を \(a _ n\) とする（ \(n = 1, 2, 3, \cdots\) ）. 以下の問に答えよ.
(1) \(\displaystyle\int e^{-x} \cos x \, dx = e^{-x} \left( p \sin x +q \cos x \right) +C\) をみたす定数 \(p , q\) を求めよ. ただし, \(C\) は積分定数である.
(2) \(a _ 1\) の値を求めよ.
(3) \(a _ n\) の値を求めよ.
(4) \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( a _ 1 +a _ 2 + \cdots + a _ n \right)\) を求めよ.
\(n\) を正の整数とするとき, 以下の問に答えよ.
(1) \(k\) を正の整数とする. 関数 \((1-x)^n x^k\) の \(0 \leqq x \leqq 1\) における最大値を \(a _ n\) とする. \(a _ n\) および \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} a _ n\) を求めよ.
(2) \(f(x) , g(x)\) を \(0 \leqq x \leqq 1\) において定められた連続関数とする. 関数 \((1-x)^n f(x)\) , \((1-x)^n g(x)\) , \((1-x)^n \left\{ f(x) +g(x) \right\}\) の \(0 \leqq x \leqq 1\) における最大値をそれぞれ \(b _ n , c _ n , d _ n\) とする. このとき, \(0 , b _ n +c _ n , d _ n\) の大小を \[ \square \leqq \square \leqq \square \] の形式で答え, その理由を述べよ.
(3) \(p , q , r \geqq 0\) を定数, \(f(x) = px^2+qx+r\) とし, 関数 \((1-x)^n f(x)\) の \(0\leq x \leqq 1\) における最大値を \(e _ n\) とする. \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} e _ n\) を求めよ.
\(xy\) 平面において, 点 \(( 5 \sqrt{3} , 0 )\) を中心とする半径 \(5\) の円を C, 点 \(( -4 \sqrt{3} , 0 )\) を中心とする半径 \(4\) の円を D とする. C , D の共通接線のうち, C , D が異なる側にあり傾きが正であるものを \(\ell\) , 傾きが負であるものを \({\ell}'\) とし, C , D が同じ側にあり傾きが正であるものを \(m\) とする. 以下の問に答えよ.
(1) 直線 \(\ell\) の方程式を求めよ.
(2) 直線 \(m\) の方程式を求めよ.
(3) 三直線 \(\ell , {\ell}' , m\) のすべてに接し C , D と異なる円を E , E' とする. 二円 E , E' の中心の \(x\) 座標を求めよ.
(4) (3) の円 E , E' の半径を求めよ.