実数 \(x\) に対して, \(x\) 以下の最大の整数を \([x]\) で表す. 以下の問に答えよ.
(1) \(\dfrac{14}{3} \lt x \lt 5\) のとき, \(\left[ \dfrac{3}{7}x \right] -\left[ \dfrac{3}{7} [x] \right]\) を求めよ.
(2) すべての実数 \(x\) について, \(\left[ \dfrac{1}{2}x \right] -\left[ \dfrac{1}{2} [x] \right] =0\) を示せ.
(3) \(n\) を正の整数とする. 実数 \(x\) について, \(\left[ \dfrac{1}{n}x \right] -\left[ \dfrac{1}{n} [x] \right]\) を求めよ.
\(a \gt 0\) に対し, 行列 \(A\) を \[ A = \left( \begin{array}{cc} a & 1 \\ -1 & a \end{array} \right) \] で定める. \(xy\) 平面上の直線 \(y=1\) を \(l _ 1\) とする. \(l _ 1\) の各点を行列 \(A\) で表される \(1\) 次変換で移してできる直線を \(l _ 2\) とし, \(l _ 1\) の各点を \(A\) の逆行列 \(A^{-1}\) で表される \(1\) 次変換で移してできる直線を \(l _ 3\) とする. また, \(l _ 1\) と \(l _ 2\) の交点を P, \(l _ 1\) と \(l _ 3\) の交点を Q, \(l _ 2\) と \(l _ 3\) の交点を R とし, △PQR の面積を \(S(a)\) とする. 以下の問に答えよ.
(1) 直線 \(l _ 2\) と直線 \(l _ 3\) の方程式を求めよ.
(2) \(3\) 点 P , Q , R の座標を求めよ.
(3) \(S(a)\) を求めよ.
(4) \(S(a)\) を最小にする \(a\) を求めよ.
トランプのハートとスペードの \(1\) から \(10\) までのカードが \(1\) 枚ずつ総計 \(20\) 枚ある. \(i = 1, 2, \cdots , 10\) に対して, 番号 \(i\) のハートとスペードのカードの組を第 \(i\) 対とよぶことにする. \(20\) 枚のカードの中から \(4\) 枚のカードを無作為に取り出す. 取り出された \(4\) 枚のカードの中に第 \(i\) 対が含まれているという事象を \(A _ i\) で表すとき, 以下の問に答えよ.
(1) 事象 \(A _ 1\) が起こる確率 \(P(A _ 1)\) を求めよ.
(2) 確率 \(P( A _ 1 \cap A _ 2 )\) を求めよ.
(3) 確率 \(P( A _ 1 \cup A _ 2 \cup A _ 3 )\) を求めよ.
(4) 取り出された \(4\) 枚のカードの中に第 \(1\) 対, 第 \(2\) 対, 第 \(3\) 対, 第 \(4\) 対, 第 \(5\) 対, 第 \(6\) 対の中の少なくとも \(1\) つが含まれる確率を求めよ.
以下の問に答えよ.
(1) 半径 \(r\) の円に内接し, \(1\) つの対角線の長さが \(l\) であるような四角形の面積の最大値を \(r\) と \(l\) で表せ.
(2) 半径 \(r\) の円に内接する四角形の面積の最大値を求めよ.
(3) 空間内の点 O を頂点とし, 四角形 ABCD を底面とする四角錐（すい）が \(\text{OA} =\text{OB} =\text{OC} =\text{OD} =1\) を満たしているとする. そのような四角錘の体積の最大値を求めよ.
実数 \(p \gt 0\) に対して, \[ f(x) = e^{(p+1)x} -e^x \] とおく. 以下の問に答えよ.
(1) \(f(x)\) が最小となる \(x\) の値 \(s _ p\) を求め, \(y = f(x)\) のグラフを描け.
(2) \[ g(t) = \displaystyle\int _ t^{t+1} f(x) e^{t-x} \, dx \] とおく. \(g(t)\) が最小となる \(t\) の値 \(t _ p\) を求めよ.
(3) \(0 \lt p \leqq 1\) のとき, \[ 1+\dfrac{p}{2} \leqq \dfrac{e^p-1}{p} \leqq 1+\dfrac{p}{2}+p^2 \] が成立することを用いて, 右側からの極限 \(\displaystyle\lim _ {p \rightarrow +0} (t _ p -s _ p)\) を求めよ.