\(xy\) 平面上の \(2\) 点 A \((-1, 4)\) , B \((2, 5)\) を通り, 直線 \(y = \dfrac{1}{2}x\) と共有点をもつ円を考える. 以下の問いに答えよ.

1. (1)　この円の中心 P の軌跡を求めよ.

2. (2)　この円の半径 \(r\) の最小値を求めよ.

\(xy\) 平面上の点 \(( x _ 1 , y _ 1 )\) に対して, 点 \(( x _ 2 , y _ 2 ) , ( x _ 3 , y _ 3 ) , \cdots\) を次の式で順に定める. \[ \left( \begin{array}{c} x _ {n+1} \\ y _ {n+1} \end{array} \right) = \left\{ \begin{array}{ll} \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x _ n \\ y _ n \end{array} \right) & ( \ y _ n \geqq 0 \text{のとき} ) \\ \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x _ n \\ y _ n \end{array} \right) & ( \ y _ n \lt 0 \text{のとき} ) \end{array} \right. \] 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(( x _ 1 , y _ 1 ) = ( -1 , 2 )\) のとき, \(( x _ 3 , y _ 3 )\) を求めよ.

2. (2)　\(( x _ 1 , y _ 1 ) = ( 1 , 0 )\) のとき, \(( x _ 5 , y _ 5 )\) を求めよ.

3. (3)　\(x _ 1 \gt 0\) かつ \(y _ 1 \gt 0\) のとき, \(( x _ 4 , y _ 4 ) = ( x _ 1 , y _ 1 )\) となることを示せ.

4. (4)　\(( x _ n , y _ n ) = ( x _ 1 , y _ 1 )\) となる \(2\) 以上の整数 \(n\) が存在しないとき, 点 \(( x _ 1 , y _ 1 )\) はどのような範囲にあるかを図示せよ.

\(a , b\) を実数とし, \(xy\) 平面上の次の \(2\) つの関数のグラフについて考える. \[\begin{align} y & = e^{|x|} \quad ... [1] \\ y & = ax + b \quad ... [2] \end{align}\] 以下の問いに答えよ.

1. (1)　[1] , [2] がただ \(1\) つの共有点をもつとき, \(b\) を \(a\) で表し, そのグラフを \(ab\) 平面上に図示せよ.

2. (2)　(1) のグラフを \(b = f(a)\) と表す. 定数 \(p\) に対して, \[ pa + f(a) \] を最大にする \(a\) およびその最大値を求めよ.

\(xyz\) 空間において, \(2\) 点 P \((1, 0, 1)\) , Q \((-1, 1, 0)\) を考える. 線分 PQ を \(x\) 軸の周りに \(1\) 回転して得られる曲面を \(S\) とする. 以下の問に答えよ.

1. (1)　曲面 \(S\) と, \(2\) つの平面 \(x = 1\) および \(x = -1\) で囲まれる立体の体積を求めよ.

2. (2)　(1) の立体の平面 \(y = 0\) による切り口を, 平面 \(y = 0\) において図示せよ.

3. (3)　定積分 \(\displaystyle\int _ 0^1 \sqrt{t^2+1} \, dt\) の値を \(t = \dfrac{e^s -e^{-s}}{2}\) と置換することによって求めよ. これを用いて, (2) の切り口の面積を求めよ.

表の出る確率が \(p \ ( 0 \lt p \lt 1 )\) , 裏が出る確率が \(1-p\) の硬貨がある. \(n\) を自然数とする. この硬貨を \(2n\) 回投げたとき, 表が \(n+1\) 回以上出る確率を \(P _ n\) とする. 以下の問に答えよ.

1. (1)　\(P _ 2 , P _ 3\) を求めよ.

2. (2)　\(P _ 3 \gt P _ 2\) となる \(p\) の範囲を求めよ.

3. (3)　\(P _ {n+1} - P _ n = p^{n+1} ( 1-p )^n ( ap+b )\) となる \(a , b\) を \(n\) を用いて表せ. ただし \(a , b\) は \(p\) を含まないとする.

4. (4)　\(p = \dfrac{7}{16}\) のとき, \(P _ n\) を最大にする \(n\) を求めよ.