複素数 \(\alpha = \dfrac{-1 +\sqrt{3} i}{2}\) に対して, \[ S _ n = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n {\alpha}^{k-1} , \ T _ n = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n k {\alpha}^{k-1} \quad ( n = 1, 2, \cdots ) \] とおく. ただし, \({\alpha}^0 = 1\) とする. 次の問に答えよ.
(1) \(S _ {3m} \ ( n = 1, 2, \cdots )\) を求めよ.
(2) \(T _ {3m} \ ( n = 1, 2, \cdots )\) を求めよ.
(3) \(T _ {2014}\) を求めよ.
\(3\) 次関数 \(f(x) = x^3 -ax -b\) について, 次の問に答えよ.
(1) \(a \gt 0\) であるとき, \(f(x)\) の極大値と極小値を求めよ.
(2) 次の (i) , (ii) , (iii) を示せ.
(i) \(27b^2 -4a^3 \gt 0\) のとき, \(3\) 次方程式 \(f(x) = 0\) はただ \(1\) つの実数解をもつ.
(ii) \(27b^2 -4a^3 = 0\) かつ \(a \gt 0\) のとき, \(3\) 次方程式 \(f(x) = 0\) は異なる \(2\) つの実数解をもつ.
(iii) \(27b^2 -4a^3 \lt 0\) のとき, \(3\) 次方程式 \(f(x) = 0\) は異なる \(3\) つの実数解をもつ.
立方体の面を \(3\) 色を用いて \(2\) つずつ同じ色に塗る. 次の問に答えよ.
(1) 向かい合う \(2\) 面が, どの組についても同じ色で塗られる確率を求めよ.
(2) 向かい合う \(2\) 面が, どの組についても同じ色にならない確率を求めよ.
(3) 向かい合う \(2\) 面の組のうち, \(2\) 面の色が同じになる組の個数の期待値を求めよ.
関数 \(f(x)\) を次の積分で定義する. \[ f(x) = \displaystyle\int _ x^{x +\log 2} \left| e^{2t} -e^t -2 \right| \, dt \] 次の問に答えよ.
(1) \(g(t) = e^{2t} -e^t -2\) のグラフを描け.
(2) \(f(x)\) を求めよ.
(3) \(f(x)\) が極値をとる \(x\) を求めよ.
O を原点とする座標平面上に \[ \text{放物線} \ C _ 1 : \ y = x^2 , \ \text{円} \ C _ 2 : \ x^2 +(y-a)^2 = 1 \quad ( a \geqq 0 ) \] がある. \(C _ 2\) の点 \(( 0 , a+1 )\) における接線と \(C _ 1\) が \(2\) 点 A , B で交わり, △OAB が \(C _ 2\) に外接しているとする. 次の問に答えよ.
(1) \(a\) を求めよ.
(2) 点 \(( s , t )\) を \(( -1 , a ) , ( 1 , a ) , ( 0 , a-1 )\) と異なる \(C _ 2\) 上の点とする. そして点 \(( s , t )\) における \(C _ 2\) の接線と \(C _ 1\) との \(2\) つの交点を P \(( \alpha , {\alpha}^2 )\) , Q \(( \beta , {\beta}^2 )\) とする. このとき, \(( \alpha -\beta )^2 -{\alpha}^2 {\beta}^2\) は \(s, t\) によらない定数であることを示せ.
(3) (2) において, 点 P \(( \alpha , {\alpha}^2 )\) から \(C _ 2\) への \(2\) つの接線が再び \(C _ 1\) と交わる点を Q \(( \beta , {\beta}^2 )\) , R \(( \gamma , {\gamma}^2 )\) とする. \(\beta +\gamma\) および \(\beta \gamma\) を \(\alpha\) を用いて表せ.
(4) (3) の \(2\) 点 Q, R に対し, 直線 QR は \(C _ 2\) と接することを示せ.