関数 \(f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 +x^2}}\) について, 次の問に答えよ.
(1) \(y = f(x)\) のグラフの概形を描け.
(2) \(t \gt 0\) を媒介変数として, \(x = f'(t)\) , \(y = f(t) -t f'(t)\) で表される曲線の概形を描け.
(3) (2) の曲線の接線が \(x\) 軸と \(y\) 軸によって切り取られてできる線分の長さは一定であることを示せ.
整数 \(x , y\) が \(x^2 -2y^2 = 1\) をみたすとき, 次の問に答えよ.
(1) 整数 \(a , b , u , v\) が \(( a +b \sqrt{2} ) ( x +y \sqrt{2} ) = u +v \sqrt{2}\) をみたすとき, \(u , v\) を \(a , b , x , y\) で表せ. さらに \(a^2 -2b^2 = 1\) のときの \(u^2 -2v^2\) の値を求めよ. ともに答のみでよい.
(2) \(1 \lt x +y \sqrt{2} \leqq 3 +2 \sqrt{2}\) のとき, \(x = 3 , \ y = 2\) となることを示せ.
(3) 自然数 \(n\) に対して, \(( 3 +2 \sqrt{2} )^{n-1} \lt x +y \sqrt{2} \leqq ( 3 +2 \sqrt{2} )^n\) のとき, \(x +y \sqrt{2} = ( 3 +2 \sqrt{2} )^n\) を示せ.
\(a , b\) を実数とし, \[ f(x) = x^2 +ax +1 , \quad g(x) = -x^2 -bx +1 \] とおく. 次の問に答えよ.
(1) 方程式 \(f(x) = 0\) と \(g(x) = 0\) が共通の解を持つための \(a , b\) の条件を求めよ.
(2) \(a \geqq 0\) , \(b \geqq 0\) の範囲で, (1) で求めた条件をみたしながら \(a , b\) を動かす. \(f(x) = 0\) と \(g(x) = 0\) の共通解を \(\alpha\) とし, \(y = f(x)\) のグラフ上の点 \(( \alpha , 0 )\) における接線を \(\ell\) とする. このとき, \(y = g(x)\) のグラフと \(\ell\) で囲まれる部分の面積の最小値を求めよ.
\(N\) を \(3\) 以上の自然数とする.
\(1\) から \(N\) までの数字が書かれた \(N\) 枚のカードを用意し, A と B の二人で次のようなゲームを行う.
まず A が , \(1\) から \(N\) までの数のうちから \(1\) つを選びそれを \(K\) とし, その数は B に知らせずにおく. その後, 以下の試行を何度も繰り返す.
B は \(N\) 枚のカードから無作為に一枚引いて A にその数を伝え, A は引かれた数字が \(K\) より大きければ「上」, \(K\) 以下であれば「以下」と B に答え, B はその答から \(K\) の範囲を絞り込む. 引いたカードは元へ戻す.
このとき, \(n\) 回以下の試行で B が \(K\) を確定できる確率を \(P _ N (n)\) で表す. 次の問に答えよ.
(1) \(K = 1\) のとき, \(P _ 3 (1) , P _ 3 (2) , P _ 3 (3)\) を求めよ.
(2) \(K = 2\) のとき, \(P _ 3 (1) , P _ 3 (2) , P _ 3 (3)\) を求めよ.
(3) \(K = 1, 2, \cdots , N\) について, \(P _ N (n)\) を求めよ.
(4) 自然数 \(c\) に対して, 極限値 \(\displaystyle\lim _ {N \rightarrow \infty}P _ N (cN)\) を求めよ.
\(a \gt 0\) とする. \(xy\) 平面上に点 A \(( -\sqrt{2} a , 0 )\) , B \(( \sqrt{2} a , 0 )\) を固定する. 動点 P \(( x , y )\) は条件 \(\text{AP} +\text{BP} = 4a\) をみたすものとする. 次の問に答えよ.
(1) 点 P の軌跡として得られる曲線の方程式を求めよ. ただし, 答のみでよい.
(2) (1) の曲線の \(-\sqrt{2} a \leqq x \leqq \sqrt{2} a\) の部分と, 直線 \(x = -\sqrt{2} a\) , 直線 \(x = \sqrt{2} a\) で囲まれる図形を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体を考える. この立体の体積 \(V\) を求めよ.
(3) (2) の立体の表面積 \(S\) を求めよ. ここで, \(y = f(x)\) のグラフの \(p \leqq x \leqq q\) の部分を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる曲面の面積は \[ 2 \pi \displaystyle\int _ p^q \sqrt{\{ f(x) \}^2 +\{ f(x) f'(x) \}^2} \, dx \] として計算してよい.