次の定積分を求めよ.

1. (1)　\(\displaystyle\int _ 0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{dx}{1 +\sin x}\)

2. (2)　\(\displaystyle\int _ {\frac{4}{3}}^{2} \dfrac{dx}{x^2 \sqrt{x-1}}\)

\(xy\) 平面上に, 直線 \(\ell : \ \dfrac{x}{a} +\dfrac{y}{b} = 1\) がある. ただし, \(a , b\) は正の定数である. 曲線 \(C : \ \dfrac{x^2}{u^2} +\dfrac{y^2}{v^2} = 1\) がつねに \(\ell\) に接しているように正の実数 \(u , v\) を変化させる. \(C\) で囲まれる部分を \(x\) 軸の周りに回転してできる立体の体積を \(V\) とする. 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(v^2\) を \(a , b , u\) を用いて表せ.

2. (2)　\(V\) の最大値を, \(a , b\) を用いて表せ. また, そのときの \(C\) の方程式を \(a , b\) を用いて表せ.

\(xy\) 平面上に, \(b \lt a^2\) をみたす点 A \((a,b)\) がある. 曲線 \(C : \ y = x^2\) 上に点 P をとり, 線分 AP を \(k : k-1 \ ( k \gt 1 )\) に外分する点を Q とする. P が \(C\) 上を動くときにできる Q の軌跡を \(C'\) とする. 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(C'\) の方程式を求めよ.

2. (2)　\(C\) と \(C'\) は \(2\) つの点で交わることを示し, \(C\) と \(C'\) で囲まれる部分の面積を求めよ.

\(a , b\) は実数とする. 関数 \(f(x) = x^3+3ax^2+3bx\) が極大値と極小値をもつ. 次の問いに答えよ.

1. (1)　極大値が正で, 極小値が負で, かつ極大値と極小値の和が負となる点 \((a,b)\) の範囲を図示せよ.

2. (2)　極大値が \(1\) で, 極小値が \(-1\) であるような点 \((a,b)\) をすべて求めよ.

座標平面上に, ベクトル \(\overrightarrow{u _ 1} , \overrightarrow{u _ 2} , \cdots , \overrightarrow{u _ n}\) がある. 座標平面上のベクトル \(\overrightarrow{p}\) のうち, \(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^n k \left| \overrightarrow{p} -\overrightarrow{u _ k} \right|^2\) を最小にするものを \(\overrightarrow{v}\) とし, そのときの最小値を \(m\) とする. 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(\overrightarrow{v}\) を \(\overrightarrow{u _ 1} , \overrightarrow{u _ 2} , \cdots , \overrightarrow{u _ n}\) を用いて表せ.

　以下, \(\overrightarrow{u _ k} = \left( \cos \dfrac{k \alpha}{n} , \sin \dfrac{k \alpha}{n} \right) \ ( k = 1, 2, \cdots , n )\) の場合を考える, ただし, \(\alpha\) は正の定数とする.

2. (2)　\(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left| \overrightarrow{v} \right|^2\) を求めよ.

3. (3)　\(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{m}{n^2}\) を求めよ.