次の問いに答えよ.

1. (1)　不定積分 \[ \displaystyle\int \sqrt{1 -e^{-2x}} \, dx \] を置換 \(\sqrt{1 -e^{-2x}} = t\) を用いて求めよ.

2. (2)　極限 \[ \displaystyle\lim _ {\alpha \rightarrow \infty} \displaystyle\int _ 0^{\alpha} \left( 1 -\sqrt{1 -e^{-2x}} \right) \, dx \] を求めよ.

\(xy\) 平面上に \(3\) つの曲線 \[\begin{align} C _ 1 & : \ y = x^2 \\ C _ 2 & : \ y = 2(x-1)^2 +3 \\ C _ 3 & : \ y = -(x-a)^2+b \quad ( \ a , b \text{は実数} ) \end{align}\] がある. \(C _ 2\) と \(C _ 3\) はただ \(1\) つの点を共有している. 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(C _ 1 , C _ 2\) は共有点をもたないことを示せ.

2. (2)　\(b\) を \(a\) の式で表せ.

3. (3)　\(C _ 1\) と \(C _ 3\) で囲まれる部分の面積を \(S(a)\) とする. \(S(a)\) を最小にする \(a\) を求めよ.

原点を O とする \(xy\) 平面上に, \(2\) 直線 \[\begin{align} \ell _ 1 & : \ y =mx \\ \ell _ 2 & : \ y = -mx \end{align}\] がある. ただし, \(m \gt 1\) とする. \(\ell _ 1\) 上に点 P \(( s, ms )\) , \(\ell _ 2\) 上に点 Q \(( t, -mt )\) を \(s \neq 0 , \ t \neq 0\) となるようにとる. P を通り \(\ell _ 1\) に垂直な直線と, Q を通り \(\ell _ 2\) に垂直な直線の交点を R とする. 次の問いに答えよ.

1. (1)　R の座標を求めよ.

2. (2)　PQ と OR が平行となるように, P , Q を動かすとき, R の軌跡を求めよ.

連立不等式 \[ \left\{\begin{array}{l} x^2 +\left( y -\dfrac{1}{2} \right)^2 \leqq 1 \\ y \geqq 0 \end{array}\right. \] の表す図形を \(x\) 軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ.

数列 \(\left\{ a _ n \right\}\) を \[ a _ 1 = \dfrac{1}{2} , \ a _ {n+1} =1-{a _ n}^2 \quad ( n =1, 2, 3, \cdots ) \] で定める. 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(0 \lt a _ {2n-1} \leqq \dfrac{1}{2}\) , \(\dfrac{3}{4} \leqq a _ {2n} \lt 1\) （ \(n =1, 2, 3, \cdots\) ）であることを示せ.

2. (2)　\(x\) が \(0 \leqq x \leqq \dfrac{1}{2}\) の範囲を動くとき, 関数 \(f(x) = 2x -x^3\) のとる値の範囲を求める.

3. (3)　\(\dfrac{2 _ {2n+1}}{a _ {2n-1}} \leqq \dfrac{7}{8}\) （ \(n =1, 2, 3, \cdots\) ）であることを示せ.