次の問いに答えよ.

1. (1)　不定積分 \(\displaystyle\int e^{-x} \sin^2 x \, dx\) を求めよ.

2. (2)　定積分 \(\displaystyle\int _ 0^1 \sqrt{1 +2 \sqrt{x}} \, dx\) を求めよ.

行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) は \(A^2 = A\) を満たす. 行列 \(B\) は \(B \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a \\ 1 \end{array} \right)\) , \(B^2 \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)\) を満たす. 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(a+d\) , \(ad-bc\) を求めよ.

2. (2)　\(B\) を \(a\) を用いて表せ.

3. (3)　\(c = 1\) のとき, 実数 \(s , t\) に対して \[ ( sA+tB )^n = x _ n A +y _ n B \quad ( n = 1 , 2, 3 , \cdots ) \] と表されることを示し, \(x _ n , y _ n\) を \(s , t , n\) を用いて表せ.

\(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{3}\) を満たす \(\theta\) に対し, \(xy\) 平面の第 \(1\) 象限の点 P および \(x\) 軸の正の部分にある点 Q を \[ \angle \text{QOP} = \theta , \ \angle \text{PQO} = 2 \theta , \ \text{PQ} = 1 \] を満たすようにとる. PQ の中点を R とする. \(\theta\) が \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{3}\) の範囲を動くとき, P の軌跡を \(C _ 1\) , R の軌跡を \(C _ 2\) とする. 次の問いに答えよ.

1. (1)　P , Q , R の座標を \(\theta\) を用いて表せ.

2. (2)　\(C _ 1 , C _ 2\) を求め, それらを図示せよ.

3. (3)　\(C _ 1 , C _ 2\) および \(x\) 軸で囲まれる部分を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる回転体の体積を求めよ.

\(1\) つの整数を表示する装置がある. 最初に \(2013\) が表示されている. さいころを \(1\) 回投げるたびに次の操作（＊）を行う.

1. （＊）表示されている整数をさいころの出た目の数で割った余り \(r\) を求め, 装置に \(r\) を表示させる.

さいころを \(n\) 回投げたとき, 最後に装置に表示されている整数 \(0\) である確率を \(a _ n\) , \(1\) である確率を \(b _ n\) , \(3\) である確率を \(c _ n\) とする.

1. (1)　\(a _ 1 , b _ 1 , c _ 1\) を求めよ.

2. (2)　\(a _ n , b _ n , c _ n\) を \(a _ {n-1} , b _ {n-1} , c _ {n-1}\) を用いて表せ.

3. (3)　\(a _ n , b _ n , c _ n\) を \(n\) の式で表せ.

関数 \(f(x) = e^{ax} \ (a \gt 0 )\) と次の条件 (ア) , (イ) を満たす関数 \(g(x)\) がある.

1. (ア)　\(y = g(x)\) のグラフは半円 \[ \left\{\begin{array}{l} (x-p)^2 +(y-q)^2 = r^2 \\ y \lt p \end{array}\right. \] である. ただし, \(p \lt 0\) , \(q \gt 0\) , \(r \gt |p|\) とする.

2. (イ)　\(f(0) = g(0)\) , \(f'(0) = g'(0)\) , \(f''(0) = g''(0)\)

次の問いに答えよ.

1. (1)　\(p , q , r\) を \(a\) を用いて表せ.

2. (2)　\(a\) がすべての正の実数を動くとき, \(r\) を最小にする \(a\) の値を求めよ.