整数 \(x , y\) が \(x^2 -2y^2 = 1\) をみたすとき, 次の問に答えよ.
(1) 整数 \(a , b , u , v\) が \(( a +b \sqrt{2} ) ( x +y \sqrt{2} ) = u +v \sqrt{2}\) をみたすとき, \(u , v\) を \(a , b , x , y\) で表せ. さらに \(a^2 -2b^2 = 1\) のときの \(u^2 -2v^2\) の値を求めよ. ともに答のみでよい.
(2) \(1 \lt x +y \sqrt{2} \leqq 3 +2 \sqrt{2}\) のとき, \(x = 3 , \ y = 2\) となることを示せ.
(3) 自然数 \(n\) に対して, \(( 3 +2 \sqrt{2} )^{n-1} \lt x +y \sqrt{2} \leqq ( 3 +2 \sqrt{2} )^n\) のとき, \(x +y \sqrt{2} = ( 3 +2 \sqrt{2} )^n\) を示せ.
\(a , b\) を実数とし, \[ f(x) = x^2 +ax +1 , \quad g(x) = -x^2 -bx +1 \] とおく. 次の問に答えよ.
(1) 方程式 \(f(x) = 0\) と \(g(x) = 0\) が共通の解を持つための \(a , b\) の条件を求めよ.
(2) \(a \geqq 0\) , \(b \geqq 0\) の範囲で, (1) で求めた条件をみたしながら \(a , b\) を動かす. \(f(x) = 0\) と \(g(x) = 0\) の共通解を \(\alpha\) とし, \(y = f(x)\) のグラフ上の点 \(( \alpha , 0 )\) における接線を \(\ell\) とする. このとき, \(y = g(x)\) のグラフと \(\ell\) で囲まれる部分の面積の最小値を求めよ.
\(N\) を \(3\) 以上の自然数とする.
\(1\) から \(N\) までの数字が書かれた \(N\) 枚のカードを用意し, A と B の二人で次のようなゲームを行う.
まず A が , \(1\) から \(N\) までの数のうちから \(1\) つを選びそれを \(K\) とし, その数は B に知らせずにおく. その後, 以下の試行を何度も繰り返す.
B は \(N\) 枚のカードから無作為に一枚引いて A にその数を伝え, A は引かれた数字が \(K\) より大きければ「上」, \(K\) 以下であれば「以下」と B に答え, B はその答から \(K\) の範囲を絞り込む. 引いたカードは元へ戻す.
このとき, \(n\) 回以下の試行で B が \(K\) を確定できる確率を \(P _ N (n)\) で表す. 次の問に答えよ.
(1) \(K = 1\) のとき, \(P _ 3 (1) , P _ 3 (2) , P _ 3 (3)\) を求めよ.
(2) \(K = 2\) のとき, \(P _ 3 (1) , P _ 3 (2) , P _ 3 (3)\) を求めよ.
(3) \(K = 1, 2, \cdots , N\) について, \(P _ N (n)\) を求めよ.
(4) 自然数 \(c\) に対して, 極限値 \(\displaystyle\lim _ {N \rightarrow \infty}P _ N (cN)\) を求めよ.
\(a \gt 0\) とする. \(xy\) 平面上に点 A \(( -\sqrt{2} a , 0 )\) , B \(( \sqrt{2} a , 0 )\) を固定する. 動点 P \(( x , y )\) は条件 \(\text{AP} +\text{BP} = 4a\) をみたすものとする. 次の問に答えよ.
(1) 点 P の軌跡として得られる曲線の方程式を求めよ. ただし, 答のみでよい.
(2) (1) の曲線の \(-\sqrt{2} a \leqq x \leqq \sqrt{2} a\) の部分と, 直線 \(x = -\sqrt{2} a\) , 直線 \(x = \sqrt{2} a\) で囲まれる図形を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体を考える. この立体の体積 \(V\) を求めよ.
(3) (2) の立体の表面積 \(S\) を求めよ. ここで, \(y = f(x)\) のグラフの \(p \leqq x \leqq q\) の部分を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる曲面の面積は \[ 2 \pi \displaystyle\int _ p^q \sqrt{\{ f(x) \}^2 +\{ f(x) f'(x) \}^2} \, dx \] として計算してよい.
次の問いに答えよ.
(1) 定積分 \[ \displaystyle\int _ 0^{\log 3} \dfrac{dx}{e^x +5 e^{-x} -2} \] を求めよ.
(2) \(x \gt 0\) のとき, 不等式 \[ \log x \geqq \dfrac{5x^2 -4x -1}{2x (x+2)} \] が成り立つことを示せ.
点 O を中心とする半径 \(1\) の円に内接する三角形 ABC があり, \[ 2 \overrightarrow{\text{OA}} +3 \overrightarrow{\text{OB}} +4 \overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{0} \] をみたしている. この円上に点 P があり, 線分 AB と線分 CP は直交している. 次の問いに答えよ.
(1) 内積 \(\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}}\) と \(\left| \overrightarrow{\text{AB}} \right|\) をそれぞれ求めよ.
(2) 線分 AB と線分 CP の交点を H とするとき, \(\text{AH} : \text{HB}\) を求めよ.
(3) 四角形 APBC の面積を求めよ.
実数 \(a\) に対し, \(xy\) 平面上の放物線 \(C : \ y = (x-a)^2 -2a^2 +1\) を考える. 次の問いに答えよ.
(1) \(a\) がすべての実数を動くとき, \(C\) が通過する領域を求め, 図示せよ.
(2) \(a\) が \(-1 \leqq a \leqq 1\) の範囲を動くとき, \(C\) が通過する領域を求め, 図示せよ.
自然数を \(2\) 個以上の連続する自然数の和で表すことを考える. たとえば, \(42\) は \(3 +4 + \cdots +9\) のように \(2\) 個以上の連続する自然数の和で表せる. 次の問いに答えよ.
(1) \(2020\) を \(2\) 個以上の連続する自然数の和で表す表し方をすべて求めよ.
(2) \(a\) を \(0\) 以上の整数とするとき, \(2^a\) は \(2\) 個以上の連続する自然数の和で表せないことを示せ.
(3) \(a , b\) を自然数とするとき, \(2^a (2b+1)\) は \(2\) 個以上の連続する自然数の和で表せることを示せ.