座標空間の \(x\) 軸上に動点 P , Q がある. P , Q は時刻 \(0\) において, 原点を出発する. P は \(x\) 軸の正の方向に, Q は \(x\) 軸の負の方向に, ともに速さ \(1\) で動く. その後, ともに時刻 \(1\) で停止する. 点 P , Q を中心とする半径 \(1\) の球をそれぞれ \(A , B\) とし, 空間で \(x \geqq -1\) の部分を \(C\) とする. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) 時刻 \(t \ ( 0 \leqq t \leqq 1 )\) における立体 \(( A \cup B ) \cap C\) の体積 \(V(t)\) を求めよ.
(2) \(V(t)\) の最大値を求めよ.
\(n\) を \(2\) 以上の整数とする. 正方形の形に並んだ \(n \times n\) のマスに \(0\) または \(1\) のいずれかの数字を入れる. マスは上から第 \(1\) 行, 第 \(2\) 行, … , 左から第 \(1\) 列, 第 \(2\) 列, … , と数える. 数字の入れ方についての次の条件 \(p\) を考える.
(1) 条件 \(p\) を満たすとき, 第 \(n\) 行と第 \(n\) 列の少なくとも一方には \(0\) と \(1\) が交互に現れることを示せ.
(2) 条件 \(p\) を満たすような数字の入れ方の総数 \(a _ n\) を求めよ.
数列 \(\{ a _ n \}\) を \[ a _ 1 = 5 , \ a _ {n+1} = \dfrac{4 a _ n -9}{a _ n -2} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] で定める. また数列 \(\{ b _ n \}\) を \[ b _ n = \dfrac{a _ 1 +2 a _ 2 +\cdots +n a _ n}{1 +2 +\cdots +n} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] と定める.
(1) 数列 \(\{ a _ n \}\) の一般項を求めよ.
(2) すべての \(n\) に対して, 不等式 \(b _ n \leqq 3 +\dfrac{4}{n+1}\) が成り立つことを示せ.
(3) 極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} b _ n\) を求めよ.
四面体 OABC において, \(\text{OA} = \text{OB} = \text{OC} = \text{BC} = 1\) , \(\text{AB} = \text{AC} = x\) とする. 頂点 O から平面 ABC に垂線を下ろし, 平面 ABC との交点を H とする. 頂点 A から平面 OBC に垂線を下ろし, 平面 OBC との交点を H' とする.
(1) \(\overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{c}\) とし, \(\overrightarrow{\text{OH}} = p \overrightarrow{a} +q \overrightarrow{b} +r \overrightarrow{c}\) , \(\overrightarrow{\text{OH'}} = s \overrightarrow{b} +t \overrightarrow{c}\) と表す. このとき, \(p , q , r\) および \(s , t\) を \(x\) の式で表せ.
(2) 四面体 OABC の体積 \(V\) を \(x\) で表せ. また, \(x\) が変化するときの \(V\) の最大値を求めよ.
\(a \gt 0\) とする. 曲線 \(y = e^{-x^2}\) と \(x\) 軸, \(y\) 軸, および直線 \(x = a\) で囲まれた図形を, \(y\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる回転体を \(A\) とする.
(1) \(A\) の体積を求めよ.
(2) 点 \(( t , 0 ) \ ( -a \leqq t \leqq a )\) を通り \(x\) 軸と垂直な平面による \(A\) の切り口の面積を \(S(t)\) とするとき, 不等式 \[ S(t) \leqq \displaystyle\int _ {-a}^a e^{-( s^2+t^2 )} \, ds \] を示せ.
(3) 不等式 \[ \sqrt{\pi \left( 1 -e^{-a^2} \right)} \leqq \displaystyle\int _ {-a}^a e^{-x^2} \, dx \] を示せ.
\(xy\) 平面上を運動する点 P の時刻 \(t \ ( t \gt 0 )\) における座標 \(( x , y )\) が \[ x = t^2 \cos t , \ y = t^2 \sin t \] で表されている. 原点を O とし, 時刻 \(t\) における P の速度ベクトルを \(\overrightarrow{v}\) とする.
(1) \(\overrightarrow{\text{OP}}\) と \(\overrightarrow{v}\) のなす角を \(\theta (t)\) とするとき, 極限値 \(\displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} \theta (t)\) を求めよ.
(2) \(\overrightarrow{v}\) が \(y\) 軸に平行になるような \(t \ ( t \gt 0 )\) のうち, 最も小さいものを \(t _ 1\) , 次に小さいものを \(t _ 2\) とする. このとき, 不等式 \(t _ 2 -t _ 1 \lt \pi\) を示せ.
\(n\) を相異なる素数 \(p _ 1 , p _ 2 , \cdots , p _ k \ ( k \geqq 1 )\) の積とする. \(a , b\) を \(n\) の約数とするとき, \(a , b\) の最大公約数を \(G\) , 最小公倍数を \(L\) とし, \[ f (a,b) = \dfrac{L}{G} \] とする.
(1) \(f (a,b)\) が \(n\) の約数であることを示せ.
(2) \(f (a,b) = b\) ならば, \(a = 1\) であることを示せ.
(3) \(m\) を自然数とするとき, \(m\) の約数であるような素数の個数を \(S(m)\) とする. \(S( f (a,b) ) +S(a) +S(b)\) が偶数であることを示せ.
\(2\) つの関数 \(y = \sin \left( x +\dfrac{\pi}{8} \right)\) と \(y = \sin 2x\) のグラフの \(0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\) の部分で囲まれる領域を, \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる立体の体積を求めよ.