京大理系2015：第2問

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次の \(2\) つの条件を同時に満たす四角形のうち面積が最小のものの面積を求めよ.

  1. (a)　少なくとも \(2\) つの内角は \(90^{\circ}\) である.

  2. (b)　半径 \(1\) の円が内接する. ただし, 円が四角形に内接するとは, 円が四角形の \(4\) つの辺すべてに接することをいう.

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京大理系2015：第3問

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  1. (1)　\(a\) を実数とするとき, \(( a , 0 )\) を通り, \(y = e^x +1\) に接する直線がただ \(1\) つ存在することを示せ.

  2. (2)　\(a _ 1 = 1\) として, \(n = 1, 2, \cdots\) について, \(( a _ n , 0 )\) を通り, \(y = e^x +1\) に接する直線の接点の \(x\) 座標を \(a _ {n+1}\) とする. このとき, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} ( a _ {n+1} -a _ n )\) を求めよ.

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京大理系2015：第6問

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\(2\) つの関数を \[ f _ 0 (x) = \dfrac{x}{2} , \ f _ 1 (x) = \dfrac{x+1}{2} \] とおく. \(x _ 0 = \dfrac{1}{2}\) から始め, 各 \(n = 1, 2, \cdots\) について, それぞれ確率 \(\dfrac{1}{2}\) で \(x _ n = f _ 0 ( x _ {n-1} )\) または \(x _ n = f _ 1 ( x _ {n-1} )\) と定める. このとき, \(x _ n \lt \dfrac{2}{3}\) となる確率 \(P _ n\) を求めよ.

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東大理系2015：第2問

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どの目も出る確率が \(\dfrac{1}{6}\) のさいころを \(1\) つ用意し, 次のように左から順に文字を書く.
さいころを投げ, 出た目が \(1, 2, 3\) のときは文字列 A A を書き, \(4\) のときは文字 B を, \(5\) のときは文字 C を, \(6\) のときは文字 D を書く. さらに繰り返しさいころを投げ, 同じ規則に従って, A A, B, C, D をすでにある文字列の右側につなげて書いていく.
たとえば, さいころを \(5\) 回投げ, その出た目が順に \(2, 5, 6, 3, 4\) であったとすると, 得られる文字列は \[ \text{A A C D A A B} \] となる. このとき, 左から \(4\) 番目の文字は D, \(5\) 番目の文字は A である.

  1. (1)　\(n\) を正の整数とする. \(n\) 回さいころを投げ, 文字列をつくるとき, 文字列の左から \(n\) 番目の文字が A となる確率を求めよ.

  2. (2)　\(n\) を \(2\) 以上の整数とする. \(n\) 回さいころを投げ, 文字列を作るとき, 文字列の左から \(n-1\) 番目の文字が A で, かつ \(n\) 番目の文字が B となる確率を求めよ.

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東大理系2015：第3問

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\(a\) を正の実数とし, \(p\) を正の有理数とする.
座標平面上の \(2\) つの曲線 \(y = ax^p \ ( x \gt 0 )\) と \(y = \log x \ ( x \gt 0 )\) を考える. この \(2\) つの曲線の共有点が \(1\) 点のみであるとし, その共有点をQとする.
以下の問いに答えよ. 必要であれば, \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} \dfrac{x^p}{\log x} = \infty\) を証明なしに用いてもよい.

  1. (1)　\(a\) および点 Q の \(x\) 座標を \(p\) を用いて表せ.

  2. (2)　この \(2\) つの曲線と \(x\) 軸で囲まれる図形を, \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体の体積を \(p\) を用いて表せ.

  3. (3)　(2) で得られる立体の体積が \(2 \pi\) になるときの \(p\) の値を求めよ.

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