数列 \(\{ p _ n \}\) を次のように定める. \[ p _ 1 = 1 , \ p _ 2 = 2 , \ p _ {n+2} = \dfrac{{p _ {n+1}^2 +1}}{p _ n} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \]

1. (1)　\(\dfrac{{p _ {n+1}}^2 +{p _ n}^2 +1}{p _ {n+1} p _ n}\) が \(n\) によらないことを示せ.

2. (2)　すべての \(n = 2, 3, 4, \cdots\) に対し, \(p _ {n+1} +p _ {n-1}\) を \(p _ n\) のみを使って表せ.

3. (3)　数列 \(\{ q _ n \}\) を次のように定める. \[ q _ 1 = 1 , \ q _ 2 = 1 , \ q _ {n+2} = q _ {n+1} +q _ n \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] すべての \(n = 1, 2, 3, \cdots\) に対し, \(p _ n = q _ {2n-1}\) を示せ.

\(m\) を \(2015\) 以下の正の整数とする. \({} _ {2015} \text{C} {} _ m\) が偶数となる最小の \(m\) を求めよ.

\(n\) を正の整数とする. 以下の問いに答えよ.

1. (1)　関数 \(g(x)\) を次のように定める. \[ g(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{\cos ( \pi x ) +1}{2} & ( \ |x| \leqq 1 \text{のとき} \ ) \\ 0 & ( \ |x| \gt 1 \text{のとき} \ ) \end{array} \right. \] \(f(x)\) を連続な関数とし, \(p , q\) を実数とする. \(|x| \leqq \dfrac{1}{n}\) をみたす \(x\) に対して \(p \leqq f(x) \leqq q\) が成り立つとき, 次の不等式を示せ. \[ p \leqq n \displaystyle\int _ {-1}^1 g(nx) f(x) \, dx \leqq q \]
2. (2)　関数 \(h(x)\) を次のように定める. \[ h(x) = \left\{ \begin{array}{ll} -\dfrac{\pi}{2} \sin ( \pi x ) & ( \ |x| \leqq 1 \text{のとき} \ ) \\ 0 & ( \ |x| \gt 1 \text{のとき} \ ) \end{array} \right. \] このとき, 次の極限を求めよ. \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} n^2 \displaystyle\int _ {-1}^1 h(nx) \log ( 1 +e^{x+1} ) \, dx \]