東北大理系2021：第5問
\(z\) を複素数とする. 複素数平面上の \(3\) 点 O \(( 0 )\) , A \(( z )\) , B \(( z^2 )\) について, 以下の問いに答えよ.
(1) \(3\) 点 O, A, B が同一直線上にあるための \(z\) の必要十分条件を求めよ.
(2) \(3\) 点 O, A, B が二等辺三角形の頂点になるような \(z\) 全体を複素数平面上に図示せよ.
(3) \(3\) 点 O, A, B が二等辺三角形の頂点であり, かつ \(z\) の偏角 \(\theta\) が \(0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{3}\) を満たすとき, 三角形 OAB の面積の最大値とそのときの \(z\) の値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(z^2 = kz\) ... [1] をみたす実数 \(k\) が存在する条件を求めればよい.
[1] より
\[\begin{align}
z ( z-k ) & = 0 \\
\text{∴} \quad z = 0 , k
\end{align}\]
よって, 求める条件は
\[
\underline{z \ \text{は実数}}
\]
(2)
(1) の結果より, 「 \(z\) は実数ではない」... [2] .
1* \(\text{OA} = \text{OB}\) となるのは \[\begin{align} | z^2 | & = | z | \\ | z |^2 & = | z | \\ \text{∴} \quad | z | & = 1 \quad ... [3] \end{align}\]
2* \(\text{OA} = \text{AB}\) となるのは \[\begin{align} | z^2 -z | & = | z | \\ | z | | z-1 | & = | z | \\ \text{∴} \quad | z-1 | & = 1 \quad ... [4] \end{align}\]
3* \(\text{OB} = \text{AB}\) となるのは \[\begin{align} | z^2 -z | & = | z^2 | \\ | z | | z-1 | & = | z |^2 \\ \text{∴} \quad | z | & = | z-1 | \quad ... [5] \end{align}\] これは, 点 \(0\) と \(1\) の垂直二等分線を示す.
1* ～ 3* と [2] より, 求める範囲は下図実線部（〇は含まない）.
(3)
\(z^2\) の偏角は \(2 \theta\) なので, \(\angle \text{AOB} = \theta\) であり
\[\begin{align}
\triangle \text{OAB} & = \dfrac{1}{2} | z | | z^2 | \sin \theta \\
& = \dfrac{| z |^3}{2} \sin \theta
\end{align}\]
\(\theta\) を固定すると, \(\triangle \text{OAB}\) が最大となるのは, \(| z |\) が最大となるときなので, \(| z-1 | = 1\) の場合について考えればよい.
\(z-1\) の偏角は, 円周角の定理より \(2 \theta\) なので
\[
z = 1 +\cos 2 \theta +i \sin \theta
\]
ゆえに
\[\begin{align}
| z |^2 & = ( 1 +\cos 2 \theta )^2 +\sin^2 \theta \\
& = 2 +2 \cos 2 theta \\
& = 2 +2 ( \cos^2 \theta -1 ) \\
& = 4 \cos^2 \theta
\end{align}\]
\(\cos \theta \gt 0\) なので
\[
| z | = 2 \cos \theta
\]
したがって
\[
\triangle \text{OAB} = 4 \cos^3 \theta \sin \theta
\]
\(f ( \theta ) = \cos^3 \theta \sin \theta\) とおくと
\[\begin{align}
f' ( \theta ) & = 3 \cos^2 \theta ( -\sin \theta ) \sin \theta +\cos^3 \theta \cdot \cos \theta \\
& = \cos^2 \theta ( -3\sin^2 \theta +\cos^2 \theta ) \\
& = \cos^2 ( 4 \cos^2 -3 ) \\
& = \cos^2 ( 2 \cos -\sqrt{3} ) ( 2 \cos +\sqrt{3} )
\end{align}\]
\(f' ( \theta ) = 0\) をとくと, \(\theta = \dfrac{\pi}{6}\) .
したがって, \(f ( \theta )\) の増減は下表の通り.
\[
\begin{array}{c|ccccc} \theta & 0 & \cdots & \dfrac{\pi}{6} & \cdots & \dfrac{\pi}{3} \\ \hline f' ( \theta ) & & + & 0 & - & \\ \hline f( \theta ) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array}
\]
\[
f \left( \dfrac{\pi}{6} \right) = \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^3 \dfrac{1}{2} = \dfrac{3 \sqrt{3}}{16}
\]
よって, \(\triangle \text{OAB}\) は \(\theta = \dfrac{\pi}{6}\) すなわち
\[
z = \underline{\dfrac{3}{2} +\dfrac{\sqrt{3}}{2} i}
\]
のとき, 最大値
\[
4 f \left( \dfrac{\pi}{6} \right) = \underline{\dfrac{3 \sqrt{3}}{4}}
\]
をとる.
