京大理系2021:第6問
次の各問に答えよ.
問 1 \(n\) を \(2\) 以上の整数とする. \(3^n -2^n\) が素数ならば \(n\) も素数であることを示せ.
問 2 \(a\) を \(1\) より大きい定数とする. 微分可能な関数 \(f(x)\) が \(f(a) = a f(1)\) を満たすとき, 曲線 \(y = f(x)\) の接線で原点 \(( 0 , 0 )\) を通るものが存在することを示せ.
次の各問に答えよ.
問 1 \(n\) を \(2\) 以上の整数とする. \(3^n -2^n\) が素数ならば \(n\) も素数であることを示せ.
問 2 \(a\) を \(1\) より大きい定数とする. 微分可能な関数 \(f(x)\) が \(f(a) = a f(1)\) を満たすとき, 曲線 \(y = f(x)\) の接線で原点 \(( 0 , 0 )\) を通るものが存在することを示せ.
\(a , b\) を実数とする. 座標平面上の放物線 \[ C \ : \ y = x^2 +ax +b \] は放物線 \(y = -x^2\) と \(2\) つの共有点を持ち, 一方の共有点の \(x\) 座標は \(-1 \lt x \lt 0\) を満たし, 他方の共有点の \(x\) 座標は \(0 \lt x \lt -1\) を満たす.
(1) 点 \(( a , b )\) のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ.
(2) 放物線 \(C\) の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ.
複素数 \(a , b, c\) に対して整式 \(f(z) = az^2 +bz +c\) を考える. \(i\) を虚数単位とする.
(1) \(\alpha , \beta , \gamma\) を複素数とする. \(f( 0 ) = \alpha\) , \(f( 1 ) = \beta\) , \(f(i) = \gamma\) が成り立つとき, \(a , b , c\) をそれぞれ \(\alpha , \beta , \gamma\) で表せ.
(2) \(f(0) , f(1) , f(i)\) がいずれも \(1\) 以上 \(2\) 以下の実数であるとき, \(f(2)\) のとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ.
関数 \[ f(x) = \dfrac{x}{x^2 +3} \] に対して, \(y = f(x)\) のグラフを \(C\) とする. 点 A \(( 1 , f(1) )\) における \(C\) の接線を \[ \ell \ : \ y = g(x) \] とする.
(1) \(C\) と \(\ell\) の共有点で A と異なるものがただ \(1\) つ存在することを示し, その点の \(x\) 座標を求めよ.
(2) (1) で求めた共有点の \(x\) 座標を \(\alpha\) とする. 定積分 \[ \displaystyle\int _ {\alpha}^{1} \left\{ f(x) -g(x) \right\}^2 \, dx \] を計算せよ.
以下の問に答えよ.
(1) 正の奇数 \(K , L\) と正の整数 \(A , B\) が \(KA = LB\) を満たしているとする. \(K\) を \(4\) で割った余りが \(L\) を \(4\) で割った余りと等しいならば, \(A\) を \(4\) で割った余りは \(B\) を \(4\) で割った余りと等しいことを示せ.
(2) 正の整数 \(a , b\) が \(a \gt b\) を満たしているとする. このとき, \(A = {} _ {4a+1} \text{C} {} _ {4b+1}\) , \(B = {} _ {a} \text{C} {} _ {b}\) に対して \(KA =LB\) となるような正の奇数 \(K , L\) が存在することを示せ.
(3) \(a , b\) は (2) の通りとし, さらに \(a-b\) が \(2\) で割り切れるとする. \({} _ {4a+1} \text{C} {} _ {4b+1}\) を \(4\) で割った余りは \({} _ {a} \text{C} {} _ {b}\) を \(4\) で割った余りと等しいことを示せ.
(4) \({} _ {2021} \text{C} {} _ {37}\) を \(4\) で割った余りを求めよ.
\(\alpha\) を正の実数とする. \(0 \leqq \theta \leqq \pi\) における \(\theta\) の関数 \(f( \theta )\) を, 座標平面上の \(2\) 点 A \(( -\alpha , -3 )\) , P \(( \theta +\sin \theta , \cos \theta )\) 間の距離 AP の \(2\) 乗として定める.
(1) \(0 \lt \theta \lt \pi\) の範囲に \(f'( \theta ) = 0\) となる \(\theta\) がただ \(1\) つ存在することを示せ.
(2) 以下が成り立つような \(\alpha\) の範囲を求めよ.
定数 \(b , c , p , q , r\) に対し, \[ x^4 +bx +c = ( x^2 +px +q ) ( x^2 -px +r ) \] が \(x\) についての恒等式であるとする.