次の問いに答えよ.
(1) \(x\) が正の数のとき \(| \log x | \leqq \dfrac{|x-1|}{\sqrt{x}}\) を示せ.
(2) \(p , q , r\) が \(p+q+r = 1\) を満たす正の数のとき \[ p^2+q^2+r^2 \geqq \dfrac{1}{3} \] を示せ.
(3) \(a , b , c\) が相異なる正の数で, \(\sqrt{a} +\sqrt{b} +\sqrt{c} = 1\) を満たすとき \[ \dfrac{ab}{b-a} \log \dfrac{b}{a} +\dfrac{bc}{c-b} \log \dfrac{c}{b} +\dfrac{ca}{a-c} \log \dfrac{a}{c} \leqq \dfrac{1}{3} \] を示せ.
\(xy\) 平面において, 原点 O を通る半径 \(r \ ( r \gt 0 )\) の円を \(C\) とし, その中心を A とする. O を除く \(C\) 上の点 P に対し, 次の \(2\) つの条件 (a) , (b) で定まる点 Q を考える.
(a) \(\overrightarrow{\text{OP}}\) と \(\overrightarrow{\text{OQ}}\) の向きが同じ.
(b) \(\left| \overrightarrow{\text{OP}} \right| \left| \overrightarrow{\text{OQ}} \right| = 1\)
以下の問いに答えよ.
(1) 点 P が O を除く \(C\) 上を動くとき, 点 Q は \(\overrightarrow{\text{OA}}\) に直交する直線上を動くことを示せ.
(2) (1) の直線を \(l\) とする. \(l\) が \(C\) と \(2\) 点で交わるとき, \(r\) のとりうる値の範囲を求めよ.
\(f(x) = x^3-x\) とし, \(t\) を実数とする. \(xy\) 平面において, 曲線 \(y = f(x)\) を \(C _ 1\) とし, 直線 \(x=t\) に関して \(C _ 1\) と対称な曲線 \[ y = f (2t-x) \] を \(C _ 2\) とする.
(1) \(C _ 1\) と \(C _ 2\) が \(3\) 点で交わるとき, \(t\) のとりうる値の範囲を求めよ.
(2) \(t\) が (1) で求めた範囲を動くとき, \(C _ 1\) と \(C _ 2\) で囲まれた部分の面積 \(S\) の最大値を求めよ.
\(n\) を \(2\) 以上の自然数とする. \(4\) 個の行列 \[\begin{align} A & = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) , \quad B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right) , \\ C & = \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right) , \quad D = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \ . \end{align}\] を重複を許して \(n\) 個並べたものを \[ M _ 1 , M _ 2 , \cdots , M _ n \ . \] とする.
(1) 積 \(M _ 1 M _ 2 \cdots M _ n\) が定義できる場合は何通りあるか. その数を \(n\) の式で表せ.
(2) 積 \(M _ 1 M _ 2 \cdots M _ n\) が定義できて, その積が零行列でない \(2 \times 3\) 行列となる場合は何通りあるか. その数を \(n\) の式で表せ.
(3) 積 \(M _ 1 M _ 2 \cdots M _ n\) が定義できて, その積が零行列とならない場合は何通りあるか. その数を \(n\) の式で表せ.
\(p\) を素数, \(n\) を \(0\) 以上の整数とする.
(1) \(m\) は整数で \(0 \leqq m \leqq n\) とする. \(1\) から \(p^{n+1}\) までの整数の中で, \(p^m\) で割り切れ \(p^{m+1}\) で割り切れないものの個数を求めよ.
(2) \(1\) から \(p^{n+1}\) までの \(2\) つの整数 \(x , y\) に対し, その積が \(p^{n+1}\) で割り切れるような組 \((x,y)\) の個数を求めよ.
正数 \(a\) に対して, 放物線 \(y = x^2\) 上の点 \(A \ (a,a^2)\) における接線を, \(A\) を中心に \(-30^{\circ}\) 回転した直線を \(\ell\) とする. \(\ell\) と \(y = x^2\) の交点で \(A\) でない方を \(B\) とする. さらに, 点 \((a,0)\) を \(C\) , 原点を \(O\) とする.
(1) \(\ell\) の式を求めよ.
(2) 線分 \(OC , CA\) と \(y = x^2\) で囲まれる部分の面積を \(S(a)\) , 線分 \(AB\) と \(y = x^2\) で囲まれる部分の面積を \(T(a)\) とする. このとき \[ \displaystyle\lim _ {a \rightarrow \infty} \dfrac{T(a)}{S(a)} \] を求めよ.
一辺の長さが \(1\) の正八角形 \(A _ 1 A _ 2 \cdots A _ 8\) の周上を \(3\) 点 \(P , Q , R\) が動くとする.
(1) \(\triangle PQR\) の面積の最大値を求めよ.
(2) \(Q\) が正八角形の頂点 \(A _ 1\) に一致し, \(\angle PQR = 90^{\circ}\) となるとき \(\triangle PQR\) の面積の最大値を求めよ.
(1) 整数 \(n = 0, 1, 2, \cdots\) と正数 \(a _ n\) に対して \[ f _ n (x) = a _ n (x-n) (n+1-x) \] とおく. \(2\) つの曲線 \(y = f _ n (x)\) と \(y = e^{-x}\) が接するような \(a _ n\) を求めよ.
(2) \(f _ n (x)\) は (1) で定めたものとする. \(y = f _ 0 (x) , \ y = e^{-x}\) と \(y\) 軸で囲まれる図形の面積を \(S _ 0 \ ( n \geqq 1 )\) に対し \(y = f _ {n-1} (x) , \ y = f _ {n} (x)\) と \(y = e^{-x}\) で囲まれる図形の面積を \(S _ n\) とおく. このとき \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( S _ 0 + S _ 1 + \cdots + S _ n \right) \] を求めよ.