\(a\) を実数として, \(2\) 次の正方行列 \(A , B\) を次のように定める. \[ A = \left( \begin{array}{cc} 1 & a+1 \\ 0 & -1 \end{array} \right) , \quad B = \left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 2 & -a \end{array} \right) \] このとき, \(\left\{ ( \cos t ) A +( \sin t ) B \right\}^2 = O\) をみたす実数 \(t\) が存在するような \(a\) の範囲を求めよ. ただし, \(O\) は零行列とする.
\(k \gt 1\) として, \(f(x) = x^2+2kx\) とおく. 曲線 \(y=f(x)\) と円 \(C : \ x^2+y^2 = 1\) の \(2\) つの交点の内で, 第 \(1\) 象限にあるものを P とし, 第 \(3\) 象限にあるものを Q とする. 点 O \((0, 0)\) , A \((1, 0)\) , B \((-1, 0)\) に対して, \(\alpha = \angle \text{AOP}\) , \(\beta = \angle \text{BOQ}\) とおくとき, 以下の問いに答えよ.
(1) \(k\) を \(\alpha\) で表せ.
(2) 曲線 \(y=f(x)\) と円 \(C\) で囲まれる \(2\) つの図形の内で, \(y = f(x)\) の上側にあるものの面積 \(S(k)\) を \(\alpha\) と \(\beta\) で表せ.
(3) \(\displaystyle\lim _ {k \rightarrow \infty} S(k)\) を求めよ.
次の問いに答えよ.
(1) 不定積分 \[ \displaystyle\int \sqrt{1 -e^{-2x}} \, dx \] を置換 \(\sqrt{1 -e^{-2x}} = t\) を用いて求めよ.
(2) 極限 \[ \displaystyle\lim _ {\alpha \rightarrow \infty} \displaystyle\int _ 0^{\alpha} \left( 1 -\sqrt{1 -e^{-2x}} \right) \, dx \] を求めよ.
\(xy\) 平面上に \(3\) つの曲線 \[\begin{align} C _ 1 & : \ y = x^2 \\ C _ 2 & : \ y = 2(x-1)^2 +3 \\ C _ 3 & : \ y = -(x-a)^2+b \quad ( \ a , b \text{は実数} ) \end{align}\] がある. \(C _ 2\) と \(C _ 3\) はただ \(1\) つの点を共有している. 次の問いに答えよ.
(1) \(C _ 1 , C _ 2\) は共有点をもたないことを示せ.
(2) \(b\) を \(a\) の式で表せ.
(3) \(C _ 1\) と \(C _ 3\) で囲まれる部分の面積を \(S(a)\) とする. \(S(a)\) を最小にする \(a\) を求めよ.
原点を O とする \(xy\) 平面上に, \(2\) 直線 \[\begin{align} \ell _ 1 & : \ y =mx \\ \ell _ 2 & : \ y = -mx \end{align}\] がある. ただし, \(m \gt 1\) とする. \(\ell _ 1\) 上に点 P \(( s, ms )\) , \(\ell _ 2\) 上に点 Q \(( t, -mt )\) を \(s \neq 0 , \ t \neq 0\) となるようにとる. P を通り \(\ell _ 1\) に垂直な直線と, Q を通り \(\ell _ 2\) に垂直な直線の交点を R とする. 次の問いに答えよ.
(1) R の座標を求めよ.
(2) PQ と OR が平行となるように, P , Q を動かすとき, R の軌跡を求めよ.
連立不等式 \[ \left\{\begin{array}{l} x^2 +\left( y -\dfrac{1}{2} \right)^2 \leqq 1 \\ y \geqq 0 \end{array}\right. \] の表す図形を \(x\) 軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ.
数列 \(\left\{ a _ n \right\}\) を \[ a _ 1 = \dfrac{1}{2} , \ a _ {n+1} =1-{a _ n}^2 \quad ( n =1, 2, 3, \cdots ) \] で定める. 次の問いに答えよ.
(1) \(0 \lt a _ {2n-1} \leqq \dfrac{1}{2}\) , \(\dfrac{3}{4} \leqq a _ {2n} \lt 1\) （ \(n =1, 2, 3, \cdots\) ）であることを示せ.
(2) \(x\) が \(0 \leqq x \leqq \dfrac{1}{2}\) の範囲を動くとき, 関数 \(f(x) = 2x -x^3\) のとる値の範囲を求める.
(3) \(\dfrac{2 _ {2n+1}}{a _ {2n-1}} \leqq \dfrac{7}{8}\) （ \(n =1, 2, 3, \cdots\) ）であることを示せ.
\(p , q\) を正の実数とする. \(x\) の方程式 \[ \log _ {10} (px) \cdot \log _ {10} (qx) +1 = 0 \] が \(1\) より大きい解をもつとき, 点 \(\left( \log _ {10} p , \log _ {10} q \right)\) の存在する範囲を座標平面上に図示せよ.