点 O で交わる \(2\) つの半直線 OX , OY があって \(\angle \text{XOY} = 60^{\circ}\) とする. \(2\) 点 A , B が OX 上に, O , A , B の順に, また, \(2\) 点 C , D が OY 上に O , C , D の順に並んでいるとして, 線分 AC の中点を M , 線分 BD の中点を N とする. 線分 AB の長さを \(s\) , 線分 CD の長さを \(t\) とするとき, 以下の問いに答えよ.
(1) 線分 MN の長さを \(s\) と \(t\) を用いて表せ.
(2) 点 A , B と C , D が, \(s^2+t^2=1\) を満たしながら動くとき, 線分 MN の長さの最大値を求めよ.
\(N\) を \(2\) 以上の自然数とする.
(1) 関数 \(f(x) = (N-x) \log x\) を \(1 \leqq x \leqq N\) の範囲で考える. このとき, 曲線 \(y =f(x)\) は上に凸であり, 関数 \(f(x)\) は最大値を \(1\) つだけとる. このことを示せ.
(2) 自然数の列 \(a _ 1 , a _ 2 , \cdots , a _ N\) を \[ a _ n = n^{N-n} \quad ( n =1, 2, \cdots , N ) \] で定める. \(a _ 1 , a _ 2 , \cdots , a _ N\) のうちで最大の値を \(M\) とし, \(M = a _ n\) となる \(n\) の個数を \(k\) とする. このとき \(k \leqq 2\) であることを示せ.
(3) (2) で \(k=2\) となるのは, \(N\) が \(2\) のときだけであることを示せ.
\(t\) を負の実数とし, \(xy\) 平面上で曲線 \(y = 2^{2x+2t}\) と曲線 \(y = 2^{x+3t}\) および \(y\) 軸で囲まれる部分を \(D\) とする.
(1) \(D\) を \(x\) 軸の周りに \(1\) 回転させてできる回転体の体積 \(V(t)\) を求めよ.
(2) \(t\) が負の実数の範囲を動くとき, \(V(t)\) の最大値を求めよ.
\(1\) 枚の硬貨を繰り返し投げる反復試行を行い, 表が \(500\) 回続けて出たときに終わるものとする. \(n\) を \(500\) 以上の自然数とするとき, この反復試行が \(n\) 回目で終わる確率を \(p(n)\) とする.
(1) \(501 \leqq n \leqq 1000\) のとき, \(p(n)\) は \(n\) に関係なく一定の値になることを示し, またその値を求めよ.
(2) \(p(1002) -p(1001)\) の値を求めよ.
(3) \(1002 \leqq n \leqq 1500\) のとき, \(p(n+1) -p(n)\) の値を求めよ.
正の実数 \(a , b\) に対し, \(x \gt 0\) で定義された \(2\) つの関数 \(x^a , \ \log bx\) のグラフが \(1\) 点で接するとする.
(1) 接点の座標 \(( s , t )\) を \(a\) を用いて表せ. また, \(b\) を \(a\) の関数として表せ.
(2) \(0 \lt h \lt s\) をみたす \(h\) に対し, 直線 \(x = h\) および \(2\) つの曲線 \(y = x^a , \ y = \log bx\) で囲まれる領域の面積を \(A(h)\) とする. \(\displaystyle\lim _ {h \rightarrow 0} A(h)\) を \(a\) で表せ.
実数 \(x\) に対し, \(x\) 以上の最小の整数を \(f(x)\) とする. \(a , b\) を正の実数とするとき, 極限 \[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} x^c \left( \dfrac{1}{f(ax-7)} -\dfrac{1}{f(bx+3)} \right) \] が収束するような実数 \(c\) の最大値と, そのときの極限値を求めよ.
いびつなサイコロがあり, \(1\) から \(6\) までのそれぞれの目が出る確率が \(\dfrac{1}{6}\) とは限らないとする. このサイコロを \(2\) 回ふったとき同じ目が出る確率を \(P\) とし, \(1\) 回目に奇数, \(2\) 回目に偶数の目が出る確率を \(Q\) とする.
(1) \(P \geqq \dfrac{1}{6}\) であることを示せ. また, 等号が成立するための必要十分条件を求めよ.
(2) \(\dfrac{1}{4} \geqq Q \geqq \dfrac{1}{2} -\dfrac{3}{2} P\) であることを示せ.
平面の原点 \(O\) を端点とし, \(x\) 軸となす角がそれぞれ \(\alpha , -\alpha \ \left( \text{ただし} \ 0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{3} \right)\) である半直線を \(L _ 1 , L _ 2\) とする. \(L _ 1\) 上に点 \(P\) , \(L _ 2\) 上に点 \(Q\) を線分 \(PQ\) の長さが \(1\) となるようにとり, 点 \(R\) を直線 \(PQ\) に対し原点 \(O\) の反対側に \(\triangle PQR\) が正三角形になるようにとる.
(1) 線分 \(PQ\) が \(x\) 軸と直交するとき, 点 \(R\) の座標を求めよ.
(2) \(2\) 点 \(P , Q\) が, 線分 \(PQ\) の長さを \(1\) に保ったまま \(L _ 1 , L _ 2\) 上を動くとき, 点 \(R\) の軌跡はある楕円の一部であることを示せ.