次の問いに答えよ.

1. (1)　定積分 \[ \displaystyle\int _ {1}^{e} x^{\frac{1}{n}} \log x \, dx \quad ( n =1, 2, 3, \cdots ) \] を求めよ.

2. (2)　極限 \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} n \left( \displaystyle\int _ {1}^{e} x^{\frac{1}{n}} \log x \, dx -1 \right) \] を求めよ.

\(xy\) 平面上に曲線 \(C : \ y = x^2\) がある. \(C\) 上の点 P \(( t , t^2 )\) を次の条件 (＊) をみたすようにとる.

1. (＊)　P 以外の \(C\) 上の異なる \(2\) 点 Q , R があり, そこでの \(C\) の法線がともに P を通る.

\(\text{Q} \ ( \alpha , \alpha^2 ) , \ \text{R} \ ( \beta , \beta^2 ) \quad ( \alpha \lt \beta )\) とするとき, 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(t\) の取り得る値の範囲を求めよ.

2. (2)　\(t\) が (1) で求めた範囲を動くとき, 線分 QR の中点 M が描く軌跡の方程式を求めよ.

3. (3)　\(\beta\) を \(t\) の式で表し, 極限 \(\displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} t \beta\) を求めよ.

赤, 青, 黄の \(3\) 色を用いて, 横一列に並んだ \(n\) 個のマスを, 隣り合うマスは異なる色になるように塗り分ける. ただし, 使わない色があってもよい. 両端のマスが同じ色になる場合の数を \(a _ n\) とし, 両端のマスが異なる色になる場合の数を \(b _ n\) とする. 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(a _ 3 , b _ 3 , a _ 4 , b _ 4\) を求めよ.

2. (2)　\(a _ n , b _ n \ ( n \geqq 3 )\) を \(n\) の式で表せ.

\(xy\) 平面上に円 \(C : \ x^2+y^2 = 1\) がある. \(C\) の外部の点 P \(( s, t ) \ (s \neq \pm 1 )\) から \(C\) へ引いた \(2\) つの接線と直線 \(x = 1\) との交点を Q , R とする. 次の問いに答えよ.

1. (1)　線分 QR の長さを \(s\) , \(t\) を用いて表せ.

2. (2)　QR の長さが \(1\) であるように P が動くとき, P の軌跡を求め, 図示せよ.

平面上に \(3\) 点 O , A , B があり, \(\text{OA} = a , \ \text{OB} = b \ ( 0 \lt a \lt b )\) で, \(\overrightarrow{\text{OA}}\) と \(\overrightarrow{\text{OB}}\) のなす角 \(\theta\) は \(0 \lt \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}\) をみたす. 点 C を \(\overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{\text{OA}} +\overrightarrow{\text{OB}}\) で定める. また, O から引いた半直線 OA 上に, 点 P を \(\text{OA} \lt \text{OP}\) となるようにとる. 直線 PC と直線 OB の交点を Q とする. \(\text{AP} = x\) , \(\text{PQ}^2 = f(x)\) とするとき, 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(f(x)\) を \(x\) と \(a , b , \theta\) を用いて表せ.

2. (2)　第 \(2\) 次導関数 \(f''(x)\) は, \(x \gt 0\) のとき \(f''(x) \gt 0\) をみたすことを示せ.

3. (3)　\(a = 1\) , \(b = \sqrt{6}\) , \(\cos \theta = \dfrac{1}{\sqrt{6}}\) のとき, PQ の長さの最小値を求めよ.