\(a , b\) を正の実数とする. 曲線 \[ C : \ \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{( y-b )^2}{b^2} = 1 \] は領域 \(D : \ x^2+y^2 \leqq 1\) に含まれている. 次の問いに答えよ.
(1) \(( a , b )\) が存在する範囲を \(ab\) 平面上に図示せよ.
(2) \(C\) が囲む部分の面積が最大となるときの \(a , b\) の値を求めよ.
各項が正の実数である数列 \(\left\{ a _ n \right\}\) が \(a _ 1 = 1\) と関係式 \[ a _ {n+1} - a _ n = \sqrt{n} \left( 1 + \dfrac{1}{a _ n + a _ {n+1}} \right) \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] をみたしている. 次の問いに答えよ.
(1) \(a _ n \geqq \sqrt{n} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) を示せ.
(2) \(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n-1} \sqrt{k} \leqq \dfrac{2}{3} \left( n^{\frac{3}{2}} -1 \right) \quad ( n = 2, 3, 4, \cdots )\) を示せ.
(3) \(a _ n \leqq \dfrac{2}{3} n^{\frac{3}{2}} + \dfrac{1}{2} n - \dfrac{1}{6} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) を示せ.
\(a , b , c\) を相異なる正の実数とするとき, 以下の各問いに答えよ.
(1) 次の \(2\) 数の大小を比較せよ. \[ a^3+b^3 , \ a^2b+b^2a \]
(2) 次の \(4\) 数の大小を比較せよ. \[\begin{align} & ( a+b+c ) ( a^2+b^2+c^2 ) , \ ( a+b+c ) ( ab+bc+ca ) , \\ & 3 ( a^3+b^3+c^3 ) , \ 9abc \end{align}\]
(3) \(x , y , z\) を正の実数とするとき \[ \dfrac{y+z}{x} +\dfrac{z+x}{y} +\dfrac{x+y}{z} \] のとりうる値の範囲を求めよ.
座標空間において, \(8\) 点 O \(( 0, 0, 0 )\) , A \(( 1, 0, 0 )\) , B \(( 0, 1, 0 )\) , C \(( 0, 0, 1 )\) , D \(( 0, 1, 1 )\) , E \(( 1, 0, 1 )\) , F \(( 1, 1, 0 )\) , G \(( 1, 1, 1 )\) をとり, この \(8\) 点を頂点とする立方体を \(Q\) とする. また点 P \(( x , y , z )\) と正の実数 \(t\) に対し, \(6\) 点 \(( x+t , y , z )\) , \(( x-t , y , z )\) , \(( x , y+t , z )\) , \(( x , y-t , z )\) , \(( x , y , z+t )\) , \(( x , y , z-t )\) を頂点とする正八面体を \(\alpha _ t ( \text{P} )\) , その外部の領域を \(\beta _ t ( \text{P} )\) で表す. ただし, 立方体および正八面体は内部の領域も含むものとする. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(0 \lt t \leqq 1\) のとき, \(Q \cap \beta _ t ( \text{O} ) \cap \beta _ t ( \text{D} ) \cap \beta _ t ( \text{E} ) \cap \beta _ t ( \text{F} )\) の体積, すなわち \(5\) 個の領域 \(Q\) , \(\beta _ t ( \text{O} ) , \beta _ t ( \text{D} ) , \beta _ t ( \text{E} ) , \beta _ t ( \text{F} )\) の共通部分の体積を求めよ.
(2) \(Q \cap \alpha _ 1 ( \text{O} ) \cap \beta _ 1 ( \text{A} ) \cap \beta _ 1 ( \text{B} ) \cap \beta _ 1 ( \text{C} )\) の体積を求めよ.
(3) \(0 \lt t \leqq 1\) のとき \[ Q \cap \beta _ t ( \text{O} ) \cap \beta _ t ( \text{A} ) \cap \beta _ t ( \text{B} ) \cap \beta _ t ( \text{C} ) \cap \beta _ t ( \text{D} ) \cap \beta _ t ( \text{E} ) \cap \beta _ t ( \text{F} ) \cap \beta _ t ( \text{G} ) \] の体積を \(t\) で表せ.
\(xy\) 平面において, 次の円 \(C\) と楕円 \(E\) を考える. \[\begin{align} C & : \ x^2+y^2 = 1 \\ E & : \ x^2+\dfrac{y^2}{2} = 1 \end{align}\] また, \(C\) 上の点 P \(( s , t )\) における \(C\) の接線を \(l\) とする. このとき以下の各問いに答えよ.
以下, \(t \gt 0\) とし, \(E\) が \(l\) から切り取る線分の長さを \(L\) とする.
(2) \(L\) を \(t\) を用いて表せ.
(3) P が動くとき, \(L\) の最大値を求めよ.
(4) \(L\) が (3) で求めた最大値をとるとき, \(l\) と \(E\) が囲む領域のうち, 原点を含まない領域の面積を \(A\) とする. \(A\) の値を求めよ.
\(f(x) = 1 -\cos x -x \sin x\) とする.
(1) \(0 \lt x \lt \pi\) において, \(f(x) = 0\) は唯一の解を持つことを示せ.
(2) \(J = \displaystyle\int _ 0^{\pi} \left| f(x) \right| \, dx\) とする. (1) の唯一の解を \(\alpha\) とするとき, \(J\) を \(\sin \alpha\) の式で表せ.
(3) (2) で定義された \(J\) と \(\sqrt{2}\) の大小を比較せよ.
\(a\) を正の整数とする. 正の実数 \(x\) についての方程式 \[ \text{(＊)} \quad x = \left[ \dfrac{1}{2} \left( x + \dfrac{a}{x} \right) \right] \] が解を持たないような \(a\) を小さい順に並べたものを \(a _ 1 , a _ 2 , a _ 3 , \cdots\) とする. ここに \([ ]\) はガウス記号で, 実数 \(u\) に対し, \([ u ]\) は \(u\) 以下の最大の整数を表す.
(1) \(a = 7 , 8 , 9\) の各々について (＊) の解があるかどうかを判定し, ある場合は解 \(x\) を求めよ.
(2) \(a _ 1 , a _ 2\) を求めよ.
(3) \(\textstyle\sum\limits _ {n=1}^{\infty} \dfrac{1}{a _ n}\) を求めよ.
\(1\) から \(n\) までの数字がもれなく一つずつ書かれた \(n\) 枚のカードの束から同時に \(2\) 枚のカードを引く. このとき, 引いたカードの数字のうち小さいほうが \(3\) の倍数である確率を \(p(n)\) とする.
(1) \(p(8)\) を求めよ.
(2) 正の整数 \(k\) に対し, \(p(3k+2)\) を \(k\) で表せ.