\(C\) を半径 \(1\) の円周とし, A を \(C\) 上の \(1\) 点とする. \(3\) 点 P , Q , R が A を時刻 \(t = 0\) に出発し, \(C\) 上を各々一定の速さで, P , Q は反時計回りに, R は時計回りに, 時刻 \(t = 2\pi\) まで動く. P , Q , R の速さは, それぞれ \(m , 1 , 2\) であるとする. （したがって, Q は \(C\) をちょうど一周する. ） ただし, \(m\) は \(1 \leqq m \leqq 10\) をみたす整数である. \(\triangle \text{PQR}\) が PR を斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さ \(m\) と時刻 \(t\) の組をすべて求めよ.

四面体 OABC において, \(4\) つの面はすべて合同であり, \(\text{OA} = 3\) , \(\text{OB} = \sqrt{7}\) , \(\text{OC} = 2\) であるとする. また \(3\) 点 O , A , B を含む平面を \(L\) とする.

1. (1)　点 C から平面 \(L\) におろした垂線の足を H とおく. \(\overrightarrow{\text{OH}}\) を \(\overrightarrow{\text{OA}}\) と \(\overrightarrow{\text{OB}}\) を用いて表せ.

2. (2)　\(0 \lt t \lt 1\) をみたす実数 \(t\) に対して, 線分 OA , OB の各々を \(t : (1-t)\) に内分する点をそれぞれ \(\text{P} {} _ t , \text{Q} {} _ t\) を通り, 平面 \(L\) に垂直な平面を \(M\) とするとき, 平面 \(M\) による四面体 OABC の切り口の面積 \(S(t)\) を求めよ.

3. (3)　\(t\) が \(0 \lt t \lt 1\) の範囲を動くとき, \(S(t)\) の最大値を求めよ.