\(xy\) 平面上に放物線 \(C : \ y = -3x^2 +3\) と \(2\) 点 A \(( 1 , 0 )\) , P \(( 0 , 3p )\) がある. 線分 AP と \(C\) は, A とは異なる点 Q を共有している.
(1) 定数 \(p\) の存在する範囲を求めよ.
(2) \(\text{S} _ 1\) を, \(C\) と線分 AQ で囲まれた領域とし, \(\text{S} _ 2\) を, \(C\) , 線分 QP , および \(y\) 軸で囲まれた領域とする. \(\text{S} _ 1\) と \(\text{S} _ 2\) の面積の和が最小になる \(p\) の値を求めよ.
\(a , b , c\) を正の定数とする. 空間内に \(3\) 点 A \(( a , 0 , 0 )\) , B \(( 0 , b , 0 )\) , C \(( 0 , 0 , c )\) がある.
(1) 辺 AB を底辺とするとき, △ABC の高さを \(a , b , c\) で表せ.
(2) △ABC , △OAB , △OBC , △OCA の面積をそれぞれ \(S , S _ 1 , S _ 2 , S _ 3\) とする. ただし, O は原点である. このとき, 不等式 \(\sqrt{3} S \geqq S _ 1 +S _ 2 +S _ 3\) が成り立つことを示せ.
(3) (2) の不等式において等号が成り立つための条件を求めよ.
A と B の \(2\) 人が, \(1\) 個のサイコロを次の手順により投げ合う.
\(1\) 回目は A が投げる.
\(1, 2, 3\) の目が出たら, 次の回には同じ人が投げる.
\(4, 5\) の目が出たら, 次の回には別の人が投げる.
\(6\) の目が出たら, 投げた人を勝ちとしそれ以降は投げない.
(1) \(n\) 回目に A がサイコロを投げる確率 \(a _ n\) を求めよ.
(2) ちょうど \(n\) 回目のサイコロ投げで A が勝つ確率 \(p _ n\) を求めよ.
(3) \(n\) 回以内のサイコロ投げで A が勝つ確率 \(q _ n\) を求めよ.
\(xy\) 平面上の放物線 \(y = x^2\) を \(C\) とする. 以下の問に答えよ.
(1) \(C\) 上の点 \(( a , a^2 )\) における \(C\) の法線の方程式を求めよ.
(2) 点 \(( 1 , 2 )\) を通る \(C\) の法線の数を求めよ.
(3) 点 \(\left( t , t +\dfrac{1}{2} \right)\) を通る \(C\) の法線の数が \(2\) となるための \(t\) に対する条件を求めよ.
\(xy\) 平面上の円 \(C : \ x^2+y^2 = 1\) の内側を半径 \(\dfrac{1}{2}\) の円 \(D\) が \(C\) に接しながらすべらずに転がる. 時刻 \(t\) において \(D\) は点 \(( \cos t , \sin t )\) で \(C\) に接しているとする. \(D\) の周上の点 P の軌跡について考える. ある時刻 \(t _ 0\) において点 P が \(\left( \dfrac{1}{4} , \dfrac{\sqrt{3}}{4} \right)\) にあり, \(D\) の中心が第 \(2\) 象限にあるとする. 以下の問に答えよ.
(1) 時刻 \(t _ 0\) における \(D\) の中心の座標を求めよ.
(2) 第 \(1\) 象限において, 点 P が \(C\) 上にあるときの P の座標を求めよ.
(3) 点 P の軌跡を \(xy\) 平面上に図示せよ.
\(f(x) = \dfrac{\log x}{x}\) とする. 以下の問に答えよ.
(1) \(y = f(x)\) のグラフの概形を次の点に注意して描け： \(f(x)\) の増減, グラフの凹凸, \(x \rightarrow +0\) , \(x \rightarrow \infty\) のときの \(f(x)\) の挙動.
(2) \(n\) を自然数とする. \(k = 1 , 2 , \cdots , n\) に対して \(x\) が \(e^{\frac{k-1}{n}} \leqq x \leqq e^{\frac{k}{n}}\) を動くときの \(f(x)\) の最大値を \(M _ k\) , 最小値を \(m _ k\) とし, \[\begin{align} A _ n & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n M _ k \left( e^{\frac{k}{n}} -e^{\frac{k-1}{n}} \right) \\ B _ n & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n m _ k \left( e^{\frac{k}{n}} -e^{\frac{k-1}{n}} \right) \end{align}\] とおく. \(A _ n , B _ n\) を求めよ.
(3) \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} A _ n , \ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} B _ n\) を求めよ.
(4) 各 \(n\) に対して \(B _ n \lt \displaystyle\int _ 1^e f(x) \, dx \lt A _ n\) であることを示せ.
\(xy\) 平面上の原点を O とし, 楕円 \(\dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{y^2}{b^2} = 1 \ ( a \gt b \gt 0 )\) を \(E\) とする. \(E\) 上の点 P \(( s , t )\) における \(E\) の法線と \(x\) 軸との交点を Q とする. 点 P が \(s \gt 0 , \ t \gt 0\) の範囲を動くとき, \(\angle \text{OPQ}\) が最大になる点 P を求めよ.
四面体 OABC において \(\text{OA} = \text{BC} = 2\) , \(\text{OB} = 3\) , \(\text{OC} = \text{AB} = 4\) , \(\text{AC} = 2 \sqrt{6}\) である. また, \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{\text{OA}}\) , \(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{\text{OB}}\) , \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{\text{OC}}\) とする. 以下の問に答えよ.
(1) 内積 \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}\) , \(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}\) を求めよ.
(2) \(\triangle \text{OAB}\) を含む平面を \(H\) とする. \(H\) 上の点 P で直線 PC と \(H\) が直交するものをとる. このとき, \(\overrightarrow{\text{OP}} = x \overrightarrow{a} +y \overrightarrow{b}\) となる \(x , y\) を求めよ.
(3) 平面 \(H\) を直線 OA , AB , BO で下図のように \(7\) つの領域ア, イ, ウ, エ, オ, カ, キにわける. 点 P はどの領域に入るか答えよ.
