次の各問に答えよ.
(1) 箱の中に, \(1\) から \(9\) までの番号を \(1\) つずつ書いた \(9\) 枚のカードが入っている. ただし, 異なるカードには異なる番号が書かれているものとする. この箱から \(2\) 枚のカードを同時に選び, 小さいほうの数を \(X\) とする. これらのカードを箱に戻して, 再び \(2\) 枚のカードを同時に選び, 小さいほうの数を \(Y\) とする. \(X=Y\) である確率を求めよ.
(2) 定積分 \(\displaystyle\int _ 0^{\frac{1}{2}} ( x+1 ) \sqrt{1 -2x^2} \, dx\) を求めよ.
\(a , b , c\) を実数とし, O を原点とする座標平面において, 行列 \(\left( \begin{array}{cc} a & 1 \\ b & c \end{array} \right)\) によって表される \(1\) 次変換を \(T\) とする. この \(1\) 次変換 \(T\) が \(2\) つの条件
(i) 点 \(( 1 , 2 )\) を点 \(( 1 , 2 )\) に移す.
(ii) 点 \(( 1 , 0 )\) と点 \(( 0 , 1 )\) が \(T\) によって点 A, B にそれぞれ移るとき, △OAB の面積が \(\dfrac{1}{2}\) である.
を満たすとき, \(a , b , c\) を求めよ.
\(xy\) 平面上で, \(y=x\) のグラフと \(y =\left| \dfrac{3}{4} x^2 -3 \right| -2\) のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ.
\(n\) は \(2\) 以上の整数であり, \(\dfrac{1}{2} \lt a _ j \lt 1 \quad ( j = 1, 2, \cdots, n )\) であるとき, 不等式 \[\begin{align} ( 1 -a _ 1 ) & ( 1 -a _ 2 ) \cdots ( 1 -a _ n ) \\ & \gt 1 -\left( a _ 1 +\dfrac{a _ 2}{2} + \cdots + \dfrac{a _ n}{2^{n-1}} \right) \end{align}\] が成立することを示せ.
\(xyz\) 空間で, 原点 O を中心とする半径 \(\sqrt{6}\) の球面 \(S\) と \(3\) 点 \(( 4 , 0 , 0 )\) , \(( 0 , 4 , 0 )\) , \(( 0 , 0 , 4 )\) を通る平面 \(\alpha\) が共有点を持つことを示し, 点 \(( x , y , z )\) がその共有点全体を動くとき, 積 \(xyz\) が取り得る値の範囲を求めよ.
座標平面において, 点 P \(( 0 , 1 )\) を中心とする半径 \(1\) の円を \(C\) とする. \(a\) を \(0 \lt a \lt 1\) を満たす実数とし, 直線 \(y = a( x+1 )\) と \(C\) との交点を Q , R とする.
(1) \(\triangle \text{PQR}\) の面積 \(S(a)\) を求めよ.
(2) \(a\) が \(0 \lt a \lt 1\) の範囲を動くとき, \(S(a)\) が最大となる \(a\) を求めよ.
実数 \(x\) の小数部分を, \(0 \leqq y \lt 1\) かつ \(x-y\) が整数となる実数 \(y\) のこととし, これを記号 \(\langle x \rangle\) で表す. 実数 \(a\) に対して, 無限数列 \(\{ a _ n \}\) の各項 \(a _ n \quad ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )\) を次のように順次定める.
(i) \(a _ 1 = \langle a \rangle\)
(ii) \(\left\{ \begin{array}{ll} a _ {n+1} = \left\langle \dfrac{1}{a _ n} \right\rangle & \left( \ a _ n \neq 0 \ \text{のとき} \ \right) \\ \ a _ {n+1} = 0 & \left( \ a _ n = 0 \ \text{のとき} \ \right) \end{array} \right.\)
(1) \(a = \sqrt{2}\) のとき, 数列 \(\{ a _ n \}\) を求めよ.
(2) 任意の自然数 \(n\) に対して \(a _ n = a\) となるような \(\dfrac{1}{3}\) 以上の実数 \(a\) をすべて求めよ.
(3) \(a\) が有理数であるとする. \(a\) を整数 \(p\) と自然数 \(q\) を用いて \(a = \dfrac{p}{q}\) と表すとき, \(q\) 以上のすべての自然数 \(n\) に対して, \(a _ n = 0\) であることを示せ.