定数 \(a , b , c , d\) に対して, 平面上の点 \((p,q)\) を点 \((ap+bq , cp+dq)\) に移す操作を考える. ただし, \((a,b,c,d) \neq (1,0,0,1)\) である. \(k\) を \(0\) でない定数とする. 放物線 \(C : \ y = x^2-x+k\) 上のすべての点は, この操作によって \(C\) 上に移る.
(1) \(a , b , c , d\) を求めよ.
(2) \(C\) 上の点 A における \(C\) の接線と, 点 A をこの操作によって移した点 A' における \(C\) の接線は, 原点で直交する. このときの \(k\) の値および点 A の座標をすべて求めよ.
\(xyz\) 空間内の平面 \(z = 2\) 上に点 P があり, 平面 \(z = 1\) 上に点 Q がある. 直線 PQ と \(xy\) 平面の交点を R とする.
(1) P \((0,0,2)\) とする. 点 Q が平面 \(z = 1\) 上で点 \((0,0,1)\) を中心とする半径 \(1\) の円周上を動くとき, 点 R の軌跡の方程式を求めよ.
(2) 平面 \(z = 1\) 上に \(4\) 点 A \((1,1,1)\) , B \((1,-1,1)\) , C \((-1,-1,1)\) , D \((-1,1,1)\) をとる. 点 P が平面 \(z = 2\) 上で点 \((0,0,2)\) を中心とする半径 \(1\) の円周上を動き, 点 Q が正方形 ABCD の周上を動くとき, 点 R が動きうる領域を \(xy\) 平面上に図示し, その面積を求めよ.
最初に \(1\) の目が上面にあるようにサイコロが置かれている. その後, \(4\) つの側面から \(1\) つの面を無作為に選び, その面が上面になるように置き直す操作を \(n\) 回繰り返す. なお, サイコロの向かい合う面の目の数の和は \(7\) である.
(1) 最後に \(1\) の目が上面にある確率を求めよ.
(2) 最後に上面にある目の数の期待値を求めよ.
以下の問に答えよ.
(1) 複素数 \(\alpha , \beta\) に対して \(\alpha \beta = 0\) ならば, \(\alpha =0\) または \(\beta =0\) であることを示せ.
(2) 複素数 \(\alpha\) に対して \(\alpha^2\) が正の実数ならば, \(\alpha\) は実数であることを示せ.
(3) 複素数 \(\alpha _ 1 , \alpha _ 2 , \cdots , \alpha _ {2n+1}\) （ \(n\) は自然数）に対して, \(\alpha _ 1 \alpha _ 2 , \alpha _ 2 \alpha _ 3 , \cdots , \alpha _ {2n} \alpha _ {2n+1}\) および \(\alpha _ {2n+1} \alpha _ 1\) がすべて正の実数であるとする. このとき, \(\alpha _ 1 , \alpha _ 2 , \cdots , \alpha _ {2n+1}\) はすべて実数であることを示せ.
初項を \(a _ 0 \geqq 0\) とし, 以下の漸化式で定まる数列 \(\{ a _ n \} _ {n=0, 1, \cdots}\) を考える. \[ a _ {n+1} = a _ n -\left[ \sqrt{a _ n} \right] \quad ( n \geqq 0 ) \] ただし \([ x ]\) は \(x\) を超えない最大の整数を表す. つぎの問に答えよ.
(1) \(a _ 0 =24\) とする. このとき, \(a _ n = 0\) となる最小の \(n\) を求めよ.
(2) \(m\) を \(2\) 以上の整数とし, \(a _ 0 = m^2\) とする. このとき, \(1 \leqq j \leqq m\) をみたす \(j\) に対して \(a _ {2j-1} , a _ {2j}\) を \(j\) と \(m\) で表せ.
(3) \(m\) を \(2\) 以上の整数, \(p\) を \(1 \leqq p \leqq m-1\) をみたす整数とし, \(a _ 0 = m^2-p\) とする. このとき, \(a _ k = (m-p)^2\) となる \(k\) を求めよ. さらに, \(a _ n= 0\) となる最小の \(n\) を求めよ.
表が出る確率 \(a \ \left( 0 \lt a \lt \dfrac{1}{2} \right)\) , 裏が出る確率が \(1-a\) のコインを \(1\) 枚投げる試行を \(n\) 回行う. ただし \(n \geqq 2\) とする. この \(n\) 回の試行の結果, 表が \(2\) 回以上出る事象を \(A _ n\) で表す. また \(1\) 回目から \(n\) 回目の試行が終わるまでに, 「裏→表」の順で出ない事象を \(B _ n\) で表す. つぎの問に答えよ.
(1) 確率 \(P( A _ n ) , \ P( B _ n )\) を求めよ.
(2) 確率 \(P( A _ n \cap B _ n )\) を求めよ.
(3) 極限 \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{P( A _ n ) P( B _ n )}{P( A _ n \cap B _ n )} \] を求めよ. ただし, \(0 \lt r \lt 1\) をみたす \(r\) に対して, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} nr^n =0\) となることを証明なしに用いてもよい.
関数 \[ f(x) = \log \left( 1+\sqrt{1-x^2} \right) -\sqrt{1-x^2} -\log x \quad ( 0 \lt x \lt 1 ) \] について, つぎの問に答えよ.
(1) \(f'(x)\) を求めよ.
(2) \(y = f(x)\) のグラフの概形を描け.
(3) 曲線 \(y = f(x)\) 上を動く点を P とする. 点 Q は, 曲線 \(y = f(x)\) の P における接線上にあり, P との距離が \(1\) で, その \(x\) 座標が P の \(x\) 座標より小さいものとする. Q の軌跡を求めよ.
\(xy\) 平面上に \(2\) 点 A \((-1,0)\) , B \((1,0)\) をとる. \(\dfrac{\pi}{4} \leqq \angle \text{APB} \leqq \pi\) をみたす平面上の点 P の全体と点 A , B からなる図形を \(F\) とする. つぎの問に答えよ.
(1) \(F\) を図示せよ.
(2) \(F\) を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転して得られる立体の体積を求めよ.