\(xyz\) 空間において, 点 \(A (1,0,0)\) , \(B (0,1,0)\) , \(C (0,0,1)\) を通る平面上にあり, 正三角形 \(ABC\) に内接する円板 \(D\) とする. 円板 \(D\) の中心を \(P\) , 円板 \(D\) と辺 \(AB\) の接点を \(Q\) とする.
(1) 点 \(P\) と点 \(Q\) の座標を求めよ.
(2) 円板 \(D\) が平面 \(z = t\) と共有点をもつ \(t\) の範囲を求めよ.
(3) 円板 \(D\) と平面 \(z = t\) の共通部分が線分であるとき, その線分の長さを \(t\) を用いて表せ.
(4) 円板 \(D\) を \(z\) 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ.
\(3\) つの数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \} , \{ c _ n \}\) が \[\begin{align} a _ {n+1} & = -b _ n -c _ n \quad ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) \\ b _ {n+1} & = -c _ n -a _ n \quad ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) \\ c _ {n+1} & = -a _ n -b _ n \quad ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) \end{align}\] および \(a _ 1 = a\) , \(b _ 1 = b\) , \(c _ 1 = c\) を満たすとする. ただし, \(a , b , c\) は定数とする.
(1) \(p _ n = a _ n +b _ n +c _ n \ ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )\) で与えられる数列 \(\{ p _ n \}\) の初項から第 \(n\) 項までの和 \(S _ n\) を求めよ.
(2) 数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \} , \{ c _ n \}\) の一般項を求めよ.
(3) \(q _ n = (-1)^n \left\{ (a _ n)^2 +(b _ n)^2 +(c _ n)^2 \right\} \ ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )\) で与えられる数列 \(\{ q _ n \}\) の初項から第 \(2n\) 項までの和を \(T _ n\) とする. \(a+b+c\) が奇数であれば, すべての自然数 \(n\) に対して \(T _ n\) が正の奇数であることを数学的帰納法を用いて示せ.
\(2\) 次の正方行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) について以下の問いに答えよ. ただし \(a , b , c , d\) は実数とする.
(1) \(A^2 = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)\) を満たす \(A\) は存在しないことを示せ.
(2) \(A^2 = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right)\) を満たす \(A\) をすべて求めよ.
(3) (2) で求めた \(A\) のそれぞれについて \(A+A^2+A^3+ \cdots +A^{2013}\) を求めよ.
楕円 \(C : \ \dfrac{x^2}{16} +\dfrac{y^2}{9} = 1\) の, 直線 \(y = mx\) と平行な \(2\) 接線を \(\ell _ 1 , \ell' _ 1\) とし, \(\ell _ 1 , \ell' _ 1\) に直交する \(C\) の \(2\) 接線を \(\ell _ 2 , \ell' _ 2\) とする.
(1) \(\ell _ 1 , \ell' _ 1\) の方程式を \(m\) を用いて表せ.
(2) \(\ell _ 1\) と \(\ell' _ 1\) の距離 \(d _ 1\) および \(\ell _ 2\) と \(\ell' _ 2\) の距離 \(d _ 2\) をそれぞれ \(m\) を用いて表せ. ただし, 平行な \(2\) 直線 \(\ell , \ell'\) の距離 \(d\) とは, \(\ell\) 上の \(1\) 点と直線 \(\ell'\) の距離である.
(3) \((d _ 1)^2+(d _ 2)^2\) は \(m\) によらず一定であることを示せ.
(4) \(\ell _ 1 , \ell' _ 1 , \ell _ 2 , \ell' _ 2\) で囲まれる長方形の面積 \(S\) を \(d _ 1\) を用いて表せ. さらに \(m\) が変化するとき, \(S\) の最大値を求めよ.
次の問いに答えよ.
(1) 不定積分 \(\displaystyle\int e^{-x} \sin^2 x \, dx\) を求めよ.
(2) 定積分 \(\displaystyle\int _ 0^1 \sqrt{1 +2 \sqrt{x}} \, dx\) を求めよ.
行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) は \(A^2 = A\) を満たす. 行列 \(B\) は \(B \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a \\ 1 \end{array} \right)\) , \(B^2 \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)\) を満たす. 次の問いに答えよ.
(1) \(a+d\) , \(ad-bc\) を求めよ.
(2) \(B\) を \(a\) を用いて表せ.
(3) \(c = 1\) のとき, 実数 \(s , t\) に対して \[ ( sA+tB )^n = x _ n A +y _ n B \quad ( n = 1 , 2, 3 , \cdots ) \] と表されることを示し, \(x _ n , y _ n\) を \(s , t , n\) を用いて表せ.
\(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{3}\) を満たす \(\theta\) に対し, \(xy\) 平面の第 \(1\) 象限の点 P および \(x\) 軸の正の部分にある点 Q を \[ \angle \text{QOP} = \theta , \ \angle \text{PQO} = 2 \theta , \ \text{PQ} = 1 \] を満たすようにとる. PQ の中点を R とする. \(\theta\) が \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{3}\) の範囲を動くとき, P の軌跡を \(C _ 1\) , R の軌跡を \(C _ 2\) とする. 次の問いに答えよ.
(1) P , Q , R の座標を \(\theta\) を用いて表せ.
(2) \(C _ 1 , C _ 2\) を求め, それらを図示せよ.
(3) \(C _ 1 , C _ 2\) および \(x\) 軸で囲まれる部分を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる回転体の体積を求めよ.
\(1\) つの整数を表示する装置がある. 最初に \(2013\) が表示されている. さいころを \(1\) 回投げるたびに次の操作（＊）を行う.
さいころを \(n\) 回投げたとき, 最後に装置に表示されている整数 \(0\) である確率を \(a _ n\) , \(1\) である確率を \(b _ n\) , \(3\) である確率を \(c _ n\) とする.
(1) \(a _ 1 , b _ 1 , c _ 1\) を求めよ.
(2) \(a _ n , b _ n , c _ n\) を \(a _ {n-1} , b _ {n-1} , c _ {n-1}\) を用いて表せ.
(3) \(a _ n , b _ n , c _ n\) を \(n\) の式で表せ.