「2013年」タグアーカイブ

阪大理系2013：第5問

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\(n\) を \(3\) 以上の整数とする. \(n\) 個の球 \(K _ 1 , K _ 2 , \cdots , K _ n\) と \(n\) 個の空の箱 \(H _ 1 , H _ 2 , \cdots , H _ n\) がある. 以下のように, \(K _ 1 , K _ 2 , \cdots , K _ n\) の順番に, 球を箱に \(1\) つずつ入れていく. まず, 球 \(K _ 1\) を箱 \(H _ 1 , H _ 2 , \cdots , H _ n\) のどれか \(1\) つに無作為に入れる. 次に球 \(K _ 2\) を, 箱 \(H _ 2\) が空ならば箱 \(H _ 2\) に入れ, 箱 \(H _ 2\) が空でなければ残りの \(n-1\) 個の空の箱のどれか \(1\) つに無作為に入れる. 一般に, \(i = 2, 3, \cdots , n\) について, 球 \(K _ i\) を, 箱 \(H _ i\) が空ならば箱 \(H _ i\) に入れ, 箱 \(H _ i\) が空でなければ残りの \(n-i+1\) 個の空の箱のどれか \(1\) つに無作為に入れる.

  1. (1)　\(K _ n\) が入る箱は \(H _ 1\) または \(H _ n\) である. これを証明せよ.

  2. (2)　\(K _ {n-1}\) が \(H _ {n-1}\) に入る確率を求めよ.

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東工大2013：第1問

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  1. (1)　\(2\) 次方程式 \(x^2-3x+5 = 0\) の \(2\) つの解 \(\alpha , \beta\) に対し, \({\alpha}^n +{\beta}^n -3^n\) はすべての正の整数 \(n\) について \(5\) の整数倍になることを示せ.

  2. (2)　\(6\) 個のさいころを同時に投げるとき, ちょうど \(4\) 種類の目が出る確率を既約分数で表せ.

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東工大2013：第2問

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\(2\) 次の正方行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) に対して, \(\mathit{\Delta} (A) = ad-bc\) , \(t(A) = a+d\) と定める.

  1. (1)　\(2\) 次の正方行列 \(A , B\) に対して, \(\mathit{\Delta} (AB) = \mathit{\Delta} (A) \mathit{\Delta} (B)\) が成り立つことを示せ.

  2. (2)　\(A\) の成分がすべて実数で, \(A^5 = E\) が成り立つとき, \(x = \mathit{\Delta} (A)\) と \(y = t(A)\) の値を求めよ. ただし, \(E\) は \(2\) 次の単位行列とする.

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東工大2013：第5問

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\(a , b\) を正の実数とし, 円 \(C _ 1 : \ (x-a)^2+y^2 = a^2\) と楕円 \(C _ 2 : \ x^2+\dfrac{y^2}{b^2} = 1\) を考える.

  1. (1)　\(C _ 1\) と \(C _ 2\) に内接するための \(a , b\) の条件を求めよ.

  2. (2)　\(b = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\) とし, \(C _ 1\) が \(C _ 2\) に内接しているとする. このとき, 第 \(1\) 象限における \(C _ 1\) と \(C _ 2\) の接点の座標を \((p,q)\) を求めよ.

  3. (3)　(2) の条件のもとで, \(x \geqq p\) の範囲において, \(C _ 1\) と \(C _ 2\) で囲まれた部分の面積を求めよ.

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