下図のような平行六面体 OABC-DEFG が \(xyz\) 空間内にあり, O \(( 0 , 0 , 0 )\) , A \(( 2 , 0 , 0 )\) , C \(( 0 , 3 , 0 )\) , D \(( -1 , 0 , \sqrt{6} )\) とする. 辺 AB の中点を M とし, 辺 DG 上の点 N を \(\text{MN} = 4\) かつ \(\text{DN} \lt \text{GN}\) を満たすように定める.

1. (1)　N の座標を求めよ.

2. (2)　\(3\) 点 E, M, N を通る平面と \(y\) 軸との交点 P を求めよ.

3. (3)　\(3\) 点 E, M, N を通る平面による平行六面体 OABC-DEFG の切り口の面積を求めよ.

\(1, 2, 3, 4, 5\) のそれぞれの数字は書かれた玉が \(2\) 個ずつ, 合計 \(10\) 個ある.

1. (1)　\(10\) 個の玉を袋に入れ, よくかき混ぜて \(2\) 個の玉を取り出す. 書かれている \(2\) つの数字の積が \(10\) となる確率を求めよ.

2. (2)　\(10\) 個の玉を袋に入れ, よくかき混ぜて \(4\) 個の玉を取り出す. 書かれている \(4\) つの数字の積が \(100\) となる確率を求めよ.

3. (3)　\(10\) 個の玉を袋に入れ, よくかき混ぜて \(6\) 個の玉を順に取り出す. \(1\) 個目から \(3\) 個目の玉に書かれている \(3\) つの数字の積と, \(4\) 個目から \(6\) 個目の玉に書かれている \(3\) つの数字の積が等しい確率を求めよ.

不等式 \(1 \leqq x^2+y^2 \leqq 4\) が表す \(xy\) 平面内の領域を \(D\) とする. P を円 \(x^2+y^2 = 1\) 上の点, Q と R を円 \(x^2+y^2 = 4\) 上の異なる \(2\) 点とし, 三角形 PQR は領域 \(D\) に含まれているとする. \(a , b\) を実数とし, 行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array} \right)\) の表す \(1\) 次変換により P は P' , Q は Q' , R は R' に移される. このとき ,三角形 P'Q'R' が領域 \(D\) に含まれるための \(a , b\) の必要十分条件を求めよ. ただし, 三角形は内部も含めて考えるものとする.

整数 \(n\) に対して, \[ I _ n = \displaystyle\int _ {\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos ( (2n+1) x )}{\sin x} \, dx \ . \] とする.

1. (1)　\(I _ 0\) を求めよ.

2. (2)　\(n\) を正の整数とするとき, \(I _ n -I _ {n-1}\) を求めよ.

3. (3)　\(I _ 5\) を求めよ.

以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(n\) を自然数, \(a\) を正の定数として, \[ f(x) = (n+1) \left\{ \log (a+x) -\log (n+1) \right\} -n \left( \log a -\log n \right) -\log x \] とおく. \(x \gt 0\) における関数 \(f(x)\) の極値を求めよ. ただし, 対数は自然対数とする.

2. (2)　\(n\) が \(2\) 以上の自然数のとき, 次の不等式が成り立つことを示せ. \[ \dfrac{1}{n} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \dfrac{k+1}{k} \gt (n+1)^{\frac{1}{n}} \]