$2$ つの粒子が時刻 $0$ において △ABC の頂点 A に位置している. これらの粒子は独立に運動し, それぞれ $1$ 秒ごとに隣の頂点に等確率で移動していくとする. たとえば, ある時刻で点 C にいる粒子は, その $1$ 秒後には点 A または点 B にそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ の確率で移動する. この $2$ つの粒子が, 時刻 $0$ の $n$ 秒後に同じ点にいる確率 $p(n)$ を求めよ.
△ABC は, 条件 $\angle \text{B} = 2 \angle \text{A}$ , $\text{BC} = 1$ を満たす三角形のうちで面積が最大のものであるとする. このとき, $\cos \angle \text{B}$ を求めよ.
実数の定数 $a , b$ に対して, 関数 $f(x)$ を $$ f(x) = \dfrac{ax +b}{x^2 +x +1} $$ で定める. すべての実数 $x$ で不等式 $$ f(x) \leqq {f(x)}^3 -2 {f(x)}^2 +2 $$ が成立するような点 $( a , b )$ の範囲を図示せよ.
自然数 $a , b$ はどちらも $3$ で割り切れないが, $a^3 +b^3$ は $81$ で割り切れる. このような $a , b$ の組 $( a , b )$ のうち, $a^2 +b^2$ の値を最小にするものと, そのときの $a^2 +b^2$ の値を求めよ.
双曲線 $y = \dfrac{1}{x}$ の第 $1$ 象限にある部分と, 原点 O を中心とする円の第 $1$ 象限にある部分を, それぞれ $C _ 1 , C _ 2$ とする. $C _ 1$ と $C _ 2$ は $2$ つの異なる点 A, B で交わり, 点 A における $C _ 1$ の接線 $l$ と線分 OA のなす角は $\dfrac{\pi}{6}$ であるとする. このとき, $C _ 1$ と $C _ 2$ で囲まれる図形の面積を求めよ.
\(1\) 辺の長さが \(1\) の正方形を底面とする四角柱 OABC-DEFG を考える. \(3\) 点 P , Q , R を, それぞれ辺 AE , 辺 BF , 辺 CG 上に, \(4\) 点 O , P , Q , R が同一平面上にあるようにとる. 四角形 OPQR の面積を \(S\) とおく. また, \(\angle \text{AOP}\) を \(\alpha\) , \(\angle \text{COR}\) を \(\beta\) とおく.
(1) \(S\) を \(\tan \alpha\) と \(\tan \beta\) を用いて表せ.
(2) \(\alpha +\beta = \dfrac{\pi}{4}\) , \(S = \dfrac{7}{6}\) であるとき, \(\tan \alpha +\tan \beta\) の値を求めよ. さらに, \(\alpha \leqq \beta\) のとき, \(\tan \alpha\) の値を求めよ.
\(a\) を自然数（すなわち \(1\) 以上の整数）の定数とする. 白球と赤球があわせて \(1\) 個以上入っている袋 U に対して, 次の操作 (＊) を考える.
(＊) 袋 U から球を \(1\) 個取り出し,
(i) 取り出した球が白球のときは, 袋 U の中身が白球 \(a\) 個, 赤球 \(1\) 個となるようにする.
(ii) 取り出した球が赤球のときは, その球を袋 U へ戻すことなく, 袋Uの中身はそのままにする.
はじめに袋 U の中に, 白球が \(a+2\) 個, 赤球が \(1\) 個入っているとする. この袋 U に対して操作 (＊) を繰り返し行う. たとえば, \(1\) 回目の操作で白球が出たとすると, 袋 U の中身は白球 \(a\) 個, 赤球 \(1\) 個となり, さらに \(2\) 回目の操作で赤球が出たとすると, 袋 U の中身は白球 \(a\) 個のみとなる. \(n\) 回目に取り出した球が赤球である確率を \(p _ n\) とする. ただし, 袋 U の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする.
(1) \(p _ 1\) , \(p _ 2\) を求めよ.
(2) \(n \geqq 3\) に対して \(p _ n\) を求めよ.
(3) \(\displaystyle\lim _ {m \rightarrow \infty} \dfrac{1}{m} \textstyle\sum\limits _ {n=1}^m p _ n\) を求めよ.
\(u\) を実数とする. 座標平面上の \(2\) つの放物線 \[\begin{align} C _ 1 : \quad & y = -x^2+1 \\ C _ 2 : \quad & y = (x-u)^2+u \end{align}\] を考える. \(C _ 1\) と \(C _ 2\) が共有点をもつような \(u\) の値の範囲は, ある実数 \(a , b\) により, \(a \leqq x \leqq b\) と表される.
(1) \(a , b\) の値を求めよ.
(2) \(u\) が \(a \leqq x \leqq b\) をみたすとき, \(C _ 1\) と \(C _ 2\) の共有点を \(\text{P} {} _ 1 \ ( x _ 1 , y _ 1 )\) , \(\text{P} {} _ 2 \ ( x _ 2 , y _ 2 )\) とする. ただし, 共有点が \(1\) 点のみのときは, \(\text{P} {} _ 1\) と \(\text{P} {} _ 2\) は一致し, ともにその共有点を表すとする. \[ 2 \left| x _ 1 y _ 2 -x _ 2 y _ 1 \right| \] を \(u\) の式で表せ.
(3) (2) で得られる \(u\) の式を \(f(u)\) とする. 定積分 \[ I = \displaystyle\int _ a^b f(u) \, du \] を求めよ.