点 O を中心とする半径 \(1\) の円に内接する三角形 ABC があり, \[ 2 \overrightarrow{\text{OA}} +3 \overrightarrow{\text{OB}} +4 \overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{0} \] をみたしている. この円上に点 P があり, 線分 AB と線分 CP は直交している. 次の問いに答えよ.
(1) 内積 \(\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}}\) と \(\left| \overrightarrow{\text{AB}} \right|\) をそれぞれ求めよ.
(2) 線分 AB と線分 CP の交点を H とするとき, \(\text{AH} : \text{HB}\) を求めよ.
(3) 四角形 APBC の面積を求めよ.
実数 \(a\) に対し, \(xy\) 平面上の放物線 \(C : \ y = (x-a)^2 -2a^2 +1\) を考える. 次の問いに答えよ.
(1) \(a\) がすべての実数を動くとき, \(C\) が通過する領域を求め, 図示せよ.
(2) \(a\) が \(-1 \leqq a \leqq 1\) の範囲を動くとき, \(C\) が通過する領域を求め, 図示せよ.
自然数を \(2\) 個以上の連続する自然数の和で表すことを考える. たとえば, \(42\) は \(3 +4 + \cdots +9\) のように \(2\) 個以上の連続する自然数の和で表せる. 次の問いに答えよ.
(1) \(2020\) を \(2\) 個以上の連続する自然数の和で表す表し方をすべて求めよ.
(2) \(a\) を \(0\) 以上の整数とするとき, \(2^a\) は \(2\) 個以上の連続する自然数の和で表せないことを示せ.
(3) \(a , b\) を自然数とするとき, \(2^a (2b+1)\) は \(2\) 個以上の連続する自然数の和で表せることを示せ.
\(1\) 個のさいころを \(3\) 回投げ, 出た目の順に \(a , b , c\) とする. 不等式 \[ \displaystyle\int _ 0^{\pi} ( \cos ax ) ( \cos bx ) ( \cos cx ) \, dx \gt 0 \] をみたす確率を求めよ.
以下の問いに答えよ.
(2) \(2\) つの放物線 \(y = x^2 -2x +k\) と \(y = -x^2 +1\) が共有点をもつような実数 \(k\) の値の範囲を求めよ.
(3) \(x , y\) が (1) の連立不等式を満たすとき, \(y -x^2 +2x\) の最大値および最小値と, それらを与える \(x , y\) の値を求めよ.
半径 \(1\) の円を内接円とする三角形 ABC が, 辺 AB と辺 AC の長さが等しい二等辺三角形であるとする. 辺 BC , CA , AB と内接円の接点をそれぞれ P , Q , R とする. また, \(\alpha = \angle \text{CAB}\) , \(\beta = \angle \text{ABC}\) とし, 三角形 ABC の面積を \(S\) とする.
(1) 線分 AQ の長さを \(\alpha\) を用いて表し, 線分 QC の長さを \(\beta\) を用いて表せ.
(2) \(t = \tan \dfrac{\beta}{2}\) とおく. このとき, \(S\) を \(t\) を用いて表せ.
(3) 不等式 \(S \geqq 3 \sqrt{3}\) が成り立つことを示せ. さらに, 等号が成立するのは, 三角形 ABC が正三角形のときに限ることを示せ.
\(p\) と \(q\) は正の整数とする. \(2\) 次方程式 \(x^2 -2px -q = 0\) の \(2\) つの実数解を \(\alpha , \beta\) とする. ただし, \(\alpha \gt \beta\) とする. 数列 \(\{ a _ n \}\) を \[ a _ n = \dfrac{1}{2} \left( {\alpha}^{n-1} +{\beta}^{n-1} \right) \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] によって定める. ただし, \({\alpha}^0 = 1\) , \({\beta}^0 = 1\) と定める.
(1) すべての自然数 \(n\) に対して, \(a _ {n+2} = 2p a _ {n+1} +q a _ n\) であることを示せ.
(2) すべての自然数 \(n\) に対して, \(a _ n\) は整数であることを示せ.
(3) 自然数 \(n\) に対し, \(\dfrac{{\alpha}^{n-1}}{2}\) 以下の最大の整数を \(b _ n\) とする. \(p\) と \(q\) が \(q \lt 2p+1\) を満たすとき, \(b _ n\) を \(a _ n\) を用いて表せ.
\(f(x) = \log \left( e^x +e^{-x} \right)\) とおく. 曲線 \(y = f(x)\) の点 \(( t , f(t) )\) における接線を \(\ell\) とする. 直線 \(\ell\) と \(y\) 軸の交点の \(y\) 座標を \(b(t)\) とおく.
(1) 次の等式を示せ. \[ b(t) = \dfrac{2t e^{-t}}{e^t +e^{-t}} +\log \left( 1 +e^{-2t} \right) \]
(2) \(x \geqq 0\) のとき, \(\log (1+x) \leqq x\) であることを示せ.
(3) \(t \geqq 0\) のとき, \[ b(t) \leqq \dfrac{2}{e^t +e^{-t}} +e^{-2t} \] であることを示せ.
(4) \(b(0) = \displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} \displaystyle\int _ 0^x \dfrac{4t}{\left( e^t +e^{-t} \right)^2} \, dt\) であることを示せ.