「2015年」タグアーカイブ

筑波大理系2015：第5問

投稿日時: 投稿者:
返信

\(f(x) , g(x) , h(x)\) を \[\begin{align} f(x) & = \dfrac{1}{2} ( \cos x -\sin x ) \\ g(x) & = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( x +\dfrac{\pi}{4} \right) \\ h(x) & = \sin x \\ \end{align}\] とおく. \(3\) つの曲線 \(y = f(x)\) , \(y = g(x)\) , \(y = h(x)\) の \(0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\) を満たす部分を, それぞれ \(C _ 1 , C _ 2 , C _ 3\) とする.

  1. (1)　\(C _ 2\) と \(C _ 3\) の交点の座標を求めよ.

  2. (2)　\(C _ 1\) と \(C _ 3\) の交点の \(x\) 座標を \(\alpha\) とする. \(\sin \alpha , \cos \alpha\) の値を求めよ.

  3. (3)　\(C _ 1 , C _ 2 , C _ 3\) によって囲まれる図形の面積を求めよ.

続きを読む →

筑波大理系2015：第6問

投稿日時: 投稿者:
返信

\(\alpha\) を実数でない複素数とし, \(\beta\) を正の実数とする. 以下の問いに答えよ. ただし, 複素数 \(w\) に対してその共役複素数を \(\overline{w}\) で表す.

  1. (1)　複素数平面上で, 関係式 \(\alpha \overline{z} +\overline{\alpha} z = |z|^2\) を満たす複素数 \(z\) の描く図形を \(C\) とする. このとき, \(C\) は原点を通る円であることを示せ.

  2. (2)　複素数平面上で, \(( z -\alpha ) ( \beta -\overline{\alpha} )\) が純虚数となる複素数 \(z\) の描く図形を \(L\) とする. \(L\) は (1) で定めた \(C\) と \(2\) つの共有点をもつことを示せ. また, その \(2\) 点を P , Q とするとき, 線分 PQ の長さを \(\alpha\) と \(\overline{\alpha}\) を用いて表せ.

  3. (3)　\(\beta\) の表す複素数平面上の点を R とする. (2) で定めた点 P , Q と点 R を頂点とする三角形が正三角形であるとき, \(\beta\) を \(\alpha\) と \(\overline{\alpha}\) を用いて表せ.

続きを読む →

筑波大理系2015：第7問

投稿日時: 投稿者:
返信

\(\alpha , \beta\) は異なる \(2\) つの実数とする. 座標平面において \(2\) 点 \(( \alpha , 1 )\) , \(( \beta , 1 )\) をそれぞれ点 \(( {\alpha}^2 , \alpha )\) , \(( {\beta}^2 , \beta )\) に移す \(1\) 次変換を表す行列を \(A\) とする. 自然数 \(n\) に対し, 点 \(\text{P} {} _ n \ ( x _ n , y _ n )\) を \[ \left( \begin{array}{c} x _ 1 \\ y _ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) , \ \left( \begin{array}{c} x _ {n+1} \\ y _ {n+1} \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c} x _ n \\ y _ n \end{array} \right) \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] によって定める.

  1. (1)　\(Q = \left( \begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ 1 & 1 \end{array} \right)\) とおくと, \(AQ = Q \left( \begin{array}{cc} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{array} \right)\) となることを示せ.

  2. (2)　数列 \(\{ x _ n \} , \{ y _ n \}\) の一般項を求めよ.

  3. (3)　点 \(\text{P} {} _ 2 , \text{P} {} _ 3 , \text{P} {} _ 4 , \cdots\) がすべて直線 \(y = \dfrac{1}{2} x\) 上にあるような \(\alpha , \beta\) を \(1\) 組求め, そのときの行列 \(A\) を求めよ.

続きを読む →

東北大理系2015：第1問

投稿日時: 投稿者:
返信

\(xy\) 平面において, 次の式が表す曲線を \(C\) とする. \[ x^2 +4y^2 = 1 , \ x \gt 0 , \ y \gt 0 \] P を \(C\) 上の点とする. P で \(C\) に接する直線を \(l\) とし, P を通り \(l\) と垂直な直線を \(m\) として, \(x\) 軸と \(y\) 軸と \(m\) で囲まれてできる三角形の面積を \(S\) とする. P が \(C\) 上の点全体を動くとき, \(S\) の最大値とそのときの P の座標を求めよ.

続きを読む →

東北大理系2015：第2問

投稿日時: 投稿者:
返信

\(xy\) 平面において, \(3\) 次関数 \(y = x^3 -x\) のグラフを \(C\) とし, 不等式 \[ x^3 -x \gt y \gt -x \] の表す領域を \(D\) とする. また, P を \(D\) の点とする.

  1. (1)　P を通り, \(C\) に接する直線が \(3\) 本存在することを示せ.

  2. (2)　P を通り, \(C\) に接する \(3\) 本の直線の傾きの和と積がともに \(0\) になるような P の座標を求めよ.

続きを読む →

東北大理系2015：第3問

投稿日時: 投稿者:
返信

サイコロを \(3\) 回投げて出た目の数を順に \(p _ 1 , p _ 2 \ p _ 3\) とし, \(x\) の \(2\) 次方程式 \[ 2 p _ 1 x^2 +p _ 2 x +2p _ 3 = 0 \quad ... \text{(＊)} \] を考える.

  1. (1)　方程式 (＊) が実数解をもつ確率を求めよ.

  2. (2)　方程式 (＊) が実数でない \(2\) つの複素数解 \(\alpha , \beta\) をもち, かつ \(\alpha \beta = 1\) が成り立つ確率を求めよ.

  3. (3)　方程式 (＊) が実数でない \(2\) つの複素数解 \(\alpha , \beta\) をもち, かつ \(\alpha \beta \lt 1\) が成り立つ確率を求めよ.

続きを読む →

東北大理系2015：第4問

投稿日時: 投稿者:
返信

\(a \gt 0\) を実数とする. \(n = 1, 2, 3, \cdots\) に対し, 座標平面の \(3\) 点 \[ ( 2n \pi , 0 ) , \ \left( \left( 2n +\dfrac{1}{2} \right) \pi , \dfrac{1}{\left\{ \left( 2n +\frac{1}{2} \right) \pi \right\}^a} \right) , \ \left( (2n+1) \pi , 0 \right) \] を頂点とする三角形の面積を \(A _ n\) とし, \[ B _ n = \displaystyle\int _ {2n \pi}^{(2n+1) \pi} \dfrac{\sin x}{x^a} \, dx , \ C _ n = \displaystyle\int _ {2n \pi}^{(2n+1) \pi} \dfrac{\sin^2 x}{x^a} \, dx \] とおく.

  1. (1)　\(n = 1, 2, 3, \cdots\) に対し, 次の不等式が成り立つことを示せ. \[ \dfrac{2}{\left\{ (2n+1) \pi \right\}^a} \leqq B _ n \leqq \dfrac{2}{\left( 2n \pi \right)^a} \]

  2. (2)　極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{A _ n}{B _ n}\) を求めよ.

  3. (3)　極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{A _ n}{C _ n}\) を求めよ.

続きを読む →

東北大理系2015：第5問

投稿日時: 投稿者:
返信

\(t \gt 0\) を実数とする. 座標平面において, \(3\) 点 A \(( -2 , 0 )\) , B \(( 2 , 0 )\) , C \(( t , \sqrt{3} t )\) を頂点とする三角形 ABP を考える.

  1. (1)　三角形 ABP が鋭角三角形となるような \(t\) の範囲を求めよ.

  2. (2)　三角形 ABP の垂心の座標を求めよ.

  3. (3)　辺 AB , BP , PA の中点をそれぞれ M, Q, R とおく. \(t\) が (1) で求めた範囲を動くとき, 三角形 ABP を線分 MQ , QR , RM で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と, そのときの \(t\) の値を求めよ. ,

続きを読む →