「2015年」タグアーカイブ

阪大理系2015：第1問

投稿日時: 投稿者:
返信

自然数 \(n\) に対して関数 \(f _ n (x)\) を \[ f _ n (x) = \dfrac{x}{n (1+x)} \log \left( 1 +\dfrac{x}{n} \right) \quad ( x \geqq 0 ) \] で定める. 以下の問いに答えよ.

  1. (1)　\(\displaystyle\int _ 0^n f(x) \, dx \leqq \displaystyle\int _ 0^1 \log (1+x) \, dx\) を示せ.

  2. (2)　数列 \(\{ I _ n \}\) を \[ I _ n = \displaystyle\int _ 0^n f(x) \, dx \] で定める. \(0 \leqq x \leqq 1\) のとき \(\log ( 1+x ) \leqq \log 2\) であることを用いて数列 \(\{ I _ n \}\) が収束することを示し, その極限値を求めよ. ただし, \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} \dfrac{\log x}{x} = 0\) であることは用いてよい.

続きを読む →

阪大理系2015：第4問

投稿日時: 投稿者:
返信

座標空間の \(x\) 軸上に動点 P , Q がある. P , Q は時刻 \(0\) において, 原点を出発する. P は \(x\) 軸の正の方向に, Q は \(x\) 軸の負の方向に, ともに速さ \(1\) で動く. その後, ともに時刻 \(1\) で停止する. 点 P , Q を中心とする半径 \(1\) の球をそれぞれ \(A , B\) とし, 空間で \(x \geqq -1\) の部分を \(C\) とする. このとき, 以下の問いに答えよ.

  1. (1)　時刻 \(t \ ( 0 \leqq t \leqq 1 )\) における立体 \(( A \cup B ) \cap C\) の体積 \(V(t)\) を求めよ.

  2. (2)　\(V(t)\) の最大値を求めよ.

続きを読む →

阪大理系2015：第5問

投稿日時: 投稿者:
返信

\(n\) を \(2\) 以上の整数とする. 正方形の形に並んだ \(n \times n\) のマスに \(0\) または \(1\) のいずれかの数字を入れる. マスは上から第 \(1\) 行, 第 \(2\) 行, … , 左から第 \(1\) 列, 第 \(2\) 列, … , と数える. 数字の入れ方についての次の条件 \(p\) を考える.

  1. 条件 \(p\) ： \(1\) から \(n-1\) までのどの整数 \(i , j\) についても, 第 \(i\) 行, 第 \(i+1\) 行と第 \(j\) 列, 第 \(j+1\) 列とが作る \(2 \times 2\) の \(4\) マスには \(0\) と \(1\) が \(2\) つずつ入る.

  1. (1)　条件 \(p\) を満たすとき, 第 \(n\) 行と第 \(n\) 列の少なくとも一方には \(0\) と \(1\) が交互に現れることを示せ.

  2. (2)　条件 \(p\) を満たすような数字の入れ方の総数 \(a _ n\) を求めよ.

osr20150501
続きを読む →

東工大2015：第1問

投稿日時: 投稿者:
返信

数列 \(\{ a _ n \}\) を \[ a _ 1 = 5 , \ a _ {n+1} = \dfrac{4 a _ n -9}{a _ n -2} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] で定める. また数列 \(\{ b _ n \}\) を \[ b _ n = \dfrac{a _ 1 +2 a _ 2 +\cdots +n a _ n}{1 +2 +\cdots +n} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] と定める.

  1. (1)　数列 \(\{ a _ n \}\) の一般項を求めよ.

  2. (2)　すべての \(n\) に対して, 不等式 \(b _ n \leqq 3 +\dfrac{4}{n+1}\) が成り立つことを示せ.

  3. (3)　極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} b _ n\) を求めよ.

続きを読む →

東工大2015：第2問

投稿日時: 投稿者:
返信

四面体 OABC において, \(\text{OA} = \text{OB} = \text{OC} = \text{BC} = 1\) , \(\text{AB} = \text{AC} = x\) とする. 頂点 O から平面 ABC に垂線を下ろし, 平面 ABC との交点を H とする. 頂点 A から平面 OBC に垂線を下ろし, 平面 OBC との交点を H' とする.

  1. (1)　\(\overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{c}\) とし, \(\overrightarrow{\text{OH}} = p \overrightarrow{a} +q \overrightarrow{b} +r \overrightarrow{c}\) , \(\overrightarrow{\text{OH'}} = s \overrightarrow{b} +t \overrightarrow{c}\) と表す. このとき, \(p , q , r\) および \(s , t\) を \(x\) の式で表せ.

  2. (2)　四面体 OABC の体積 \(V\) を \(x\) で表せ. また, \(x\) が変化するときの \(V\) の最大値を求めよ.

続きを読む →

東工大2015：第3問

投稿日時: 投稿者:
返信

\(a \gt 0\) とする. 曲線 \(y = e^{-x^2}\) と \(x\) 軸, \(y\) 軸, および直線 \(x = a\) で囲まれた図形を, \(y\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる回転体を \(A\) とする.

  1. (1)　\(A\) の体積を求めよ.

  2. (2)　点 \(( t , 0 ) \ ( -a \leqq t \leqq a )\) を通り \(x\) 軸と垂直な平面による \(A\) の切り口の面積を \(S(t)\) とするとき, 不等式 \[ S(t) \leqq \displaystyle\int _ {-a}^a e^{-( s^2+t^2 )} \, ds \] を示せ.

  3. (3)　不等式 \[ \sqrt{\pi \left( 1 -e^{-a^2} \right)} \leqq \displaystyle\int _ {-a}^a e^{-x^2} \, dx \] を示せ.

続きを読む →