\(xy\) 平面上を運動する点 P の時刻 \(t \ ( t \gt 0 )\) における座標 \(( x , y )\) が \[ x = t^2 \cos t , \ y = t^2 \sin t \] で表されている. 原点を O とし, 時刻 \(t\) における P の速度ベクトルを \(\overrightarrow{v}\) とする.
(1) \(\overrightarrow{\text{OP}}\) と \(\overrightarrow{v}\) のなす角を \(\theta (t)\) とするとき, 極限値 \(\displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} \theta (t)\) を求めよ.
(2) \(\overrightarrow{v}\) が \(y\) 軸に平行になるような \(t \ ( t \gt 0 )\) のうち, 最も小さいものを \(t _ 1\) , 次に小さいものを \(t _ 2\) とする. このとき, 不等式 \(t _ 2 -t _ 1 \lt \pi\) を示せ.
\(n\) を相異なる素数 \(p _ 1 , p _ 2 , \cdots , p _ k \ ( k \geqq 1 )\) の積とする. \(a , b\) を \(n\) の約数とするとき, \(a , b\) の最大公約数を \(G\) , 最小公倍数を \(L\) とし, \[ f (a,b) = \dfrac{L}{G} \] とする.
(1) \(f (a,b)\) が \(n\) の約数であることを示せ.
(2) \(f (a,b) = b\) ならば, \(a = 1\) であることを示せ.
(3) \(m\) を自然数とするとき, \(m\) の約数であるような素数の個数を \(S(m)\) とする. \(S( f (a,b) ) +S(a) +S(b)\) が偶数であることを示せ.
\(2\) つの関数 \(y = \sin \left( x +\dfrac{\pi}{8} \right)\) と \(y = \sin 2x\) のグラフの \(0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\) の部分で囲まれる領域を, \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる立体の体積を求めよ.
次の \(2\) つの条件を同時に満たす四角形のうち面積が最小のものの面積を求めよ.
(a) 少なくとも \(2\) つの内角は \(90^{\circ}\) である.
(b) 半径 \(1\) の円が内接する. ただし, 円が四角形に内接するとは, 円が四角形の \(4\) つの辺すべてに接することをいう.
(1) \(a\) を実数とするとき, \(( a , 0 )\) を通り, \(y = e^x +1\) に接する直線がただ \(1\) つ存在することを示せ.
(2) \(a _ 1 = 1\) として, \(n = 1, 2, \cdots\) について, \(( a _ n , 0 )\) を通り, \(y = e^x +1\) に接する直線の接点の \(x\) 座標を \(a _ {n+1}\) とする. このとき, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} ( a _ {n+1} -a _ n )\) を求めよ.
一辺の長さが \(1\) の正四面体 ABCD において, P を辺 AB の中点とし, 点 Q が辺 AC 上を動くとする. このとき, \(\cos \angle \text{PDQ}\) の最大値を求めよ.
\(a , b , c , d , e\) を正の実数として整式 \[\begin{align} f(x) & = ax^2 +bx +c \\ g(x) & = dx +e \end{align}\] を考える. すべての正の整数 \(n\) に対して, \(\dfrac{f(n)}{g(n)}\) は整数であるとする. このとき, \(f(x)\) は \(g(x)\) で割り切れることを示せ.
\(2\) つの関数を \[ f _ 0 (x) = \dfrac{x}{2} , \ f _ 1 (x) = \dfrac{x+1}{2} \] とおく. \(x _ 0 = \dfrac{1}{2}\) から始め, 各 \(n = 1, 2, \cdots\) について, それぞれ確率 \(\dfrac{1}{2}\) で \(x _ n = f _ 0 ( x _ {n-1} )\) または \(x _ n = f _ 1 ( x _ {n-1} )\) と定める. このとき, \(x _ n \lt \dfrac{2}{3}\) となる確率 \(P _ n\) を求めよ.