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一橋大2015：第5問[II]

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\(a , b , c\) は異なる \(3\) つの正の整数とする. 次のデータは \(2\) つの科目 X と Y の試験を受けた \(10\) 人の得点をまとめたものである. \[ \begin{array}{c|cccccccccc} & [1] & [2] & [3] & [4] & [5] & [6] & [7] & [8] & [9] & [10] \\ \hline \text{科目 X の得点} & a & c & a & b & b & a & c & c & b & c \\ \hline \text{科目 Y の得点} & a & b & b & b & a & a & b & a & b & a \end{array} \] 科目 X の得点の平均値と科目 Y の得点の平均値とは等しいとする.

  1. (1)　科目 X の得点の分散を \({s _ X}^2\) , 科目 Y の得点の分散を \({s _ Y}^2\) とする. \(\dfrac{{s _ X}^2}{{s _ Y}^2}\) を求めよ.

  2. (2)　科目 X の得点と科目 Y の得点の相関係数を, 四捨五入して小数第 \(1\) 位まで求めよ.

  3. (3)　科目 X の得点の中央値が \(65\) , 科目 Y の得点の標準偏差が \(11\) であるとき, \(a , b , c\) の組を求めよ.

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一橋大2014：第2問

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\(0 \lt t \lt 1\) とし, 放物線 \(C : \ y = x^2\) 上の点 \(( t , t^2 )\) における接線を \(l\) とする. \(C\) と \(l\) と \(x\) 軸で囲まれる部分の面積を \(S_1\) とし, \(C\) と \(l\) と直線 \(x = 1\) で囲まれる部分の面積を \(S_2\) とする. \(S_1 +S_2\) の最小値を求めよ.
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一橋大2014：第3問

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円 \(C : \ x^2 +y^2 = 1\) 上の点Pにおける接線を \(l\) とする. 点 \(( 1 , 0 )\) を通り, \(l\) と平行な直線を \(m\) とする. 直線 \(m\) と円 \(C\) の \(( 1 , 0 )\) 以外の共有点をP'とする. ただし, \(m\) が直線 \(x = 1\) のときはP'を \(( 1 , 0 )\) とする. 円 \(C\) 上の点 \(( s , t )\) から点P' \(( s' , t' )\) を得る上記の操作をTと呼ぶ.
  1. (1)　\(s' , t'\) をそれぞれ \(s\) と \(t\) の多項式として表せ.
  2. (2)　点Pに操作Tを \(n\) 回繰り返して得られる点を \(\text{P} _ n\) とおく. Pが \(\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} , \dfrac{1}{2} \right)\) のとき, \(\text{P} _ 1 , \text{P} _ 2 , \text{P} _ 3\) を図示せよ.
  3. (3)　正の整数 \(n\) について, \(\text{P} _ n = \text{P}\) となるような点Pの個数を求めよ.
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一橋大2014：第5問

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数直線上の点Pを次の規則で移動させる. 一枚の硬貨を投げて, 表が出ればPを \(+1\) だけ移動させ, 裏が出ればPを原点に関して対称な点に移動させる. Pは初め原点にあるとし, 硬貨を \(n\) 回投げた後のPの座標を \(a_n\) とする.
  1. (1)　\(a_3 = 0\) となる確率を求めよ.
  2. (2)　\(a_4 = 1\) となる確率を求めよ.
  3. (3)　\(n \geqq 3\) のとき, \(a_n = n-3\) となる確率を \(n\) を用いて表せ.
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