\(a\) を実数とする. 傾きが \(m\) である \(2\) つの直線が, 曲線 \(y = x^3 -3ax^2\) とそれぞれ点 A , 点 B で接している.

1. (1)　線分 AB の中点を C とする. C は曲線 \(y = x^3 -3ax^2\) 上にあることを示せ.

2. (2)　直線 AB の方程式が \(y = -x-1\) であるとき, \(a , m\) の値を求めよ.

原点を O とする \(xyz\) 空間内で, \(x\) 軸上の点 A , \(xy\) 平面上の点 B , \(z\) 軸上の点 C を, 次をみたすように定める. \[ \angle \text{OAC} = \angle \text{OBC} = \theta , \ \angle \text{AOB} = 2 \theta , \ \text{OC} = 3 \] ただし, A の \(x\) 座標, B の \(y\) 座標, C の \(z\) 座標はいずれも正である. さらに △ABC 内の点のうち, O からの距離が最小の点を H とする. また, \(t = \tan \theta\) とおく.

1. (1)　線分 OH の長さを \(t\) の式で表せ.

2. (2)　H の \(z\) 座標を \(t\) の式で表せ.

\(0\) 以上の整数 \(a _ 1 , a _ 2\) があたえられたとき, 数列 \(\left\{ a _ n \right\}\) を \[ a _ {n+2} = a _ {n+1} + 6a _ n \] により定める.

1. (1)　\(a _ 1 = 1\) , \(a _ 2 = 2\) のとき, \(a _ {2010}\) を \(10\) で割った余りを求めよ.

2. (2)　\(a _ 2 = 3a _ 1\) のとき, \(a _ {n+4} - a _ n\) は \(10\) の倍数であることを示せ.

\(n\) を \(3\) 以上の自然数とする. サイコロを \(n\) 回投げ, 出た目の数をそれぞれ順に \(X _ 1 , X _ 2 , \cdots X _ n\) とする. \(i = 2 , 3 , \cdots n\) に対して \(X _ i = X _ {i-1}\) となる事象を \(A _ i\) とする.

1. (1)　\(A _ 2 , A _ 3 , \cdots , A _ n\) のうち少なくとも \(1\) つが起こる確率 \(p _ n\) を求めよ.

2. (2)　\(A _ 2 , A _ 3 , \cdots , A _ n\) のうち少なくとも \(2\) つが起こる確率 \(q _ n\) を求めよ.

1. (1)　自然数 \(x , y\) は, \(1 \lt x \lt y\) および \(\left( 1 +\dfrac{1}{x} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{y} \right) = \dfrac{5}{3}\) をみたす. \(x , y\) の組をすべて求めよ.

2. (2)　自然数 \(x , y , z\) は, \(1 \lt x \lt y \lt z\) および \(\left( 1 +\dfrac{1}{x} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{y} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{z} \right) = \dfrac{12}{5}\) をみたす. \(x , y , z\) の組をすべて求めよ.

点 O を中心とする半径 \(r\) の円周上に, \(2\) 点 A , B を \(\angle \text{AOB} \lt \dfrac{\pi}{2}\) となるようにとり \(\theta = \angle \text{AOB}\) とおく. この円周上に点 C を, 線分 OC が線分 AB と交わるようにとり, 線分 AB 上に点 D をとる. また, 点 P は線分 OA 上を, 点 Q は線分 OB 上を, それぞれ動く.

1. (1)　\(\text{CP} +\text{PQ} +\text{QC}\) の最小値を \(r\) と \(\theta\) で表せ.

2. (2)　\(a = \text{OD}\) とおく. \(\text{DP} +\text{PQ} +\text{QD}\) の最小値を \(a\) と \(\theta\) で表せ.

3. (3)　さらに, 点 D が線分 AB 上を動くとき, \(\text{DP} +\text{PQ} +\text{QD}\) の最小値を \(r\) と \(\theta\) で表せ.

\(xy\) 平面上に放物線 \(C : \ y = -3x^2 +3\) と \(2\) 点 A \(( 1 , 0 )\) , P \(( 0 , 3p )\) がある. 線分 AP と \(C\) は, A とは異なる点 Q を共有している.

1. (1)　定数 \(p\) の存在する範囲を求めよ.

2. (2)　\(\text{S} _ 1\) を, \(C\) と線分 AQ で囲まれた領域とし, \(\text{S} _ 2\) を, \(C\) , 線分 QP , および \(y\) 軸で囲まれた領域とする. \(\text{S} _ 1\) と \(\text{S} _ 2\) の面積の和が最小になる \(p\) の値を求めよ.

\(a , b , c\) を正の定数とする. 空間内に \(3\) 点 A \(( a , 0 , 0 )\) , B \(( 0 , b , 0 )\) , C \(( 0 , 0 , c )\) がある.

1. (1)　辺 AB を底辺とするとき, △ABC の高さを \(a , b , c\) で表せ.

2. (2)　△ABC , △OAB , △OBC , △OCA の面積をそれぞれ \(S , S _ 1 , S _ 2 , S _ 3\) とする. ただし, O は原点である. このとき, 不等式 \(\sqrt{3} S \geqq S _ 1 +S _ 2 +S _ 3\) が成り立つことを示せ.

3. (3)　(2) の不等式において等号が成り立つための条件を求めよ.