座標平面上で次のように媒介変数表示される曲線 \(C\) を考える. \[ \left\{ \begin{array}{l} x = | \cos t | \cos^3 t \\ y = | \sin t | \sin^3 t \end{array} \right. \quad ( 0 \leqq t \leqq 2 \pi ) \] このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　次の条件 (＊) を満たす第 \(1\) 象限内の定点 F の座標を求めよ.

   1. (＊) 第 \(1\) 象限内で \(C\) 上にあるすべての点 P について, P から直線 \(x+y = 0\) に下ろした垂線を PH とするとき, つねに \(\text{PF} = \text{PH}\) となる.

2. (2)　点 P が \(C\) 全体を動くとき, P と (1) の定点 F を結ぶ線分 PF が通過する領域を図示し, その面積を求めよ.

3. (3)　(2) の領域を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体の体積を求めよ.

自然数 \(n\) に対し, \(3\) 個の数字 \(1, 2, 3\) から重複を許して \(n\) 個並べたもの \(( x _ 1 , x _ 2 , \cdots , x _ n)\) の全体の集合を \(S _ n\) とおく. \(S _ n\) の要素 \(( x _ 1 , x _ 2 , \cdots , x _ n)\) に対し, 次の \(2\) つの条件を考える.

1. 条件 \( \text{C} {} _ {12}\) : \(1 \leqq i \lt j \leqq n\) である整数 \(i , j\) の組で, \(x _ i = 1\) , \(x _ j = 2\) を満たすものが少なくとも \(1\) つ存在する.

2. 条件 \( \text{C} {} _ {123}\) : \(1 \leqq i \lt j \lt k \leqq n\) である整数 \(i , j , k\) の組で, \(x _ i = 1\) , \(x _ j = 2\) , \(x _ k = 3\) を満たすものが少なくとも \(1\) つ存在する.

例えば, \(S _ 4\) の要素 \(( 3, 1, 2, 2 )\) は条件 \( \text{C} {} _ {12}\) を満たすが, 条件 \( \text{C} {} _ {123}\) は満たさない.
\(S _ n\) の要素 \(( x _ 1 , x _ 2 , \cdots , x _ n)\) のうち, 条件 \( \text{C} {} _ {12}\) を満たさないものの個数を \(f(n)\) , 条件 \( \text{C} {} _ {123}\) を満たさないものの個数を \(g(n)\) とおく. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　\(f(4)\) と \(g(4)\) を求めよ.

2. (2)　\(f(n)\) を \(n\) を用いて表せ.

3. (3)　\(g(n+1)\) を \(g(n)\) と \(f(n)\) を用いて表せ.

4. (4)　\(g(n)\) を \(n\) を用いて表せ.

\(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) を満たす実数 \(\theta\) に対し, \(xyz\) 空間内の \(4\) 点 A \(( \cos \theta , \cos \theta , \sin \theta )\) , B \(( -\cos \theta , -\cos \theta , \sin \theta )\) , C \(( \cos \theta , -\cos \theta , -\sin \theta )\) , D \(( -\cos \theta , \cos \theta , -\sin \theta )\) を頂点とする四面体の体積を \(V( \theta )\) , この四面体の \(xz\) 平面による切り口の面積を \(S( \theta )\) とする. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　\(S \left( \dfrac{\pi}{6} \right)\) , \(V \left( \dfrac{\pi}{6} \right)\) をそれぞれ求めよ.

2. (2)　\(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) における \(S( \theta )\) の最大値を求めよ.

3. (3)　\(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) における \(V( \theta )\) の最大値を求めよ.

\(a\) を正の実数, \(k\) を自然数とし, \(x \gt 0\) で定義される関数 \[ f(x) = \displaystyle\int _ a^{ax} \dfrac{k +\sqrt[k]{u}}{ku} \, du \ . \] を考える. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　\(f(x)\) の増減および凹凸を調べ, \(y = f(x)\) のグラフの概形をかけ.

2. (2)　\(S\) を正の実数とするとき, \(f(p) = S\) を満たす実数 \(p\) がただ \(1\) つ存在することを示せ.

3. (3)　\(b = \dfrac{k}{k +\sqrt[k]{a}}\) とおくとき, (2) の \(S , p\) について, 次の不等式が成立することを示せ. \[ 1 +bS \lt p \lt e^{bS} \]

以下の各問いに答えよ.

1. (1)　実数 \(\alpha , \beta\) が \(0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(0 \lt \beta \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(\tan \alpha \tan \beta = 1\) を満たすとき, \(\alpha +\beta\) の値を求めよ.

2. (2)　実数 \(\alpha , \beta , \gamma\) が \(0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(0 \lt \beta \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(0 \lt \gamma \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(\alpha +\beta +\gamma = \dfrac{\pi}{2}\) を満たすとき, \[ \tan \alpha \tan \beta +\tan \beta \tan \gamma +\tan \gamma \tan \alpha \] の値は一定であることを示せ.

3. (3)　実数 \(\alpha , \beta , \gamma\) が \(0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(0 \lt \beta \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(0 \lt \gamma \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(\alpha +\beta +\gamma = \dfrac{\pi}{2}\) を満たすとき, \[ \tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma \] のとりうる値の範囲を求めよ.

\(2\) 次正方行列 \(\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) のうち, 次の \(3\) 条件 (i) , (ii) , (iii) を満たすもの全体の集合を \(M\) とする.

1. (i)　\(a , b , c , d\) はすべて整数

2. (ii)　\(b+c = 0\)

3. (iii)　\(a-b-d = 0\)

また \(E\) を \(2\) 次単位行列とする. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　行列 \(A , B\) がともに \(M\) の要素であるとき, それらの積 \(AB\) も \(M\) の要素であることを示せ.

2. (2)　行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) とその逆行列 \(A^{-1}\) がともに \(M\) の要素であるとき, \(ad-bc = 1\) が成立することを示せ.

3. (3)　行列 \(A\) とその逆行列 \(A^{-1}\) がともに \(M\) の要素であるような \(A\) をすべて求めよ.

4. (4)　自然数 \(n\) について, \(M\) の要素であって \(A^n = E\) を満たすような行列 \(A\) の全体の集合を \(S _ n\) とする. \(S _ n\) の要素の個数がちょうど \(3\) となる \(n\) をすべて求めよ.

\(m , n\) を自然数として, 関数 \(f(x) = x^m (1-x)^n\) を考える. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　\(0 \leqq x \leqq 1\) における \(f(x)\) の最大値を \(m , n\) を用いて表せ.

2. (2)　定積分 \(\displaystyle\int _ 0^1 f(x) \, dx\) を \(m , n\) を用いて表せ.

3. (3)　\(a , b , c\) を実数として, 関数 \(g(x) = ax^2+bx+c\) の \(0 \leqq x \leqq 1\) における最大値を \(M(a,b,c)\) とする. 次の \(2\) 条件 (i) , (ii) が成立するとき, \(M(a,b,c)\) の最小値を \(m , n\) を用いて表せ.

4. (i)　\(g(0) = g(1) = 0\)

5. (ii)　\(0 \lt x \lt 1\) のとき \(f(x) \leqq g(x)\)

6. (4)　\(m , n\) が \(2\) 以上の自然数で \(m \gt n\) であるとき \[ \dfrac{(m+n+1)!}{m! n!} \gt \dfrac{(m+n)^{m+n}}{m^m n^n} \gt 2^{2n-1} \ . \] が成立することを示せ.

以下の各問いに答えよ.

1. (1)　底面の半径が \(r\) , 高さが \(h\) の直円錐の側面積を \(r\) と \(h\) を用いて表せ.

2. (2)　座標平面上の \(4\) 点 A \(\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} , 1 \right)\) , B \(\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} , \dfrac{3}{2} \right)\) , E \(\left( 0 , \dfrac{3}{2} \right)\) , F \(( 0 , 1 )\) を考える. 四角形 ABEF を \(y\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる回転体の表面積を求めよ.

3. (3)　座標平面上の曲線 \[ C : \ x^2+y^2 = 3 \quad ( 0 \lt x \lt \sqrt{2} , \ 1 \lt y \lt \sqrt{3} ) \] の上の点 Q を考える. 点 Q と同じ \(y\) 座標を持つ \(y\) 軸上の点を H とし, 原点 O と点 Q を結ぶ線分 OQ が直線 \(y = 1\) と交わる点を P とする. さらに点 F \(( 0 , 1 )\) をとる. 四角形 PQHF を \(y\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる回転体の面のうち, 線分 PQ が \(1\) 回転してできる面の表面積を \(S\) とする. 点 Q が曲線 \(C\) 上を動くとき \(S\) の最大値を求めよ.