座標平面上の動点 Q が以下の規則 (a) ～ (f) に従って \(1\) 秒ごとに移動する.

1. (a)　原点 \((0,0)\) を出発点とし, まず点 \((1,0)\) または点 \((0,1)\) または点 \((0,-1)\) に, それぞれ確率 \(\dfrac{1}{3}\) で移動する.

2. (b)　ある時刻に点 \(( x-1 , y )\) から点 \(( x , y )\) に移動したならば, その \(1\) 秒後には点 \(( x+1 , y )\) または点 \(( x , y+1 )\) または点 \(( x , y-1 )\) に, それぞれ確率 \(\dfrac{1}{3}\) で移動する.

3. (c)　ある時刻に点 \(( x , 0 )\) から点 \(( x , 1 )\) に移動したならば, その \(1\) 秒後には点 \(( x , 2 )\) または点 \(( x+1 , y )\) に, それぞれ確率 \(\dfrac{1}{2}\) で移動する.

4. (d)　ある時刻に点 \(( x , 0 )\) から点 \(( x , -1 )\) に移動したならば, その \(1\) 秒後には点 \(( x , -2 )\) または点 \(( x+1 , -1 )\) に, それぞれ確率 \(\dfrac{1}{2}\) で移動する.

5. (e)　ある時刻に点 \(( x , 1 )\) または点 \(( x , -1 )\) から点 \(( x , 0 )\) に移動したならば, その \(1\) 秒後には点 \(( x+1 , 0 )\) に移動する.

6. (f)　直線 \(y = 2\) 上の点または直線 \(y = -2\) 上の点に達した場合には停止する.

このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　\(n\) を正の整数とするとき, Q がある時刻に点 \(( n-1 , 0 )\) に位置し, かつその \(1\) 秒後に点 \(( n , 0 )\) に移動している確率を \(p _ n\) とする. また Q がある時刻に点 \(( n-1 , 1 )\) に位置し, かつその \(1\) 秒後に点 \(( n , 1 )\) に移動している確率を \(p' _ n\) とする. \(p _ 1 , p _ 2 , p' _ 1 , p' _ 2\) をそれぞれ求めよ.

2. (2)　Q が直線 \(x=2\) 上の点に達する確率, および直線 \(x=3\) 上の点に達する確率をそれぞれ求めよ.

3. (3)　\(m\) を正の整数とするとき, Q が \(( m , 0 )\) に達する確率を \(m\) で表せ.

\(ad -bc = 1 , \ a \gt 0\) を満たす整数 \(a , b , c , d\) を考える. 行列 \[\begin{align} A & = \left( \begin{array}{cc} 6 & 10 \\ 10 & 17 \end{array} \right) , \quad B = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right) , \\ M & = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) , \quad N = \left( \begin{array}{cc} a & c \\ b & d \end{array} \right) \ . \end{align}\] が \(NA = BM^{-1}\) を満たすとき, 以下の各問いに答えよ. ただし, \(M^{-1}\) は \(M\) の逆行列を表す.

1. (1)　\(6a^2+20ac+17c^2\) の値を求めよ.

2. (2)　\(2a^2+b^2\) の値を求めよ.

3. (3)　\(a , b , c , d\) の値を求めよ.

4. (4)　\(6x^2+20xy+17y^2 = 59\) を満たす実数 \(x , y\) に対して \[ \left\{ \begin{array}{l} X = dx-by \\ Y = -cx+ay \end{array} \right. \ . \] とおくとき, \(X^2+2Y^2\) の値を求めよ.

5. (5)　\(6x^2+20xy+17y^2 = 59\) を満たす整数の組 \((x,y)\) をすべて求めよ.

数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \}\) を次のように定義する. \[ \left\{ \begin{array}{ll} a _ 1 =5 , \ b _ 1 =3 , & \\ \left( \begin{array}{c} a _ {n+1} \\ b _ {n+1} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a _ n \\ b _ n \end{array} \right) & (n=1, 2, 3, \cdots ) \end{array} \right. \] また, 自然数 \(n\) について \(c _ n ={a _ n}^2 -{b _ n}^2\) とおく. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　\(c _ n\) を \(n\) を用いて表せ.

2. (2)　\(k\) を自然数とするとき, 自然数 \(\ell\) について \[ a _ {k+\ell} =a _ k a _ {\ell} +b _ k b _ {\ell} , \ b _ {k+\ell} =b _ k a _ {\ell} +a _ k b _ {\ell} \] が成立することを, \(\ell\) に関する数学的帰納法によって示せ.

3. (3)　\(n \gt \ell\) となる自然数 \(n , \ell\) について \[ b _ {n+\ell} -c _ {\ell} b _ {n-\ell} = 2a _ n b _ {\ell} \] が成立することを示せ.

4. (4)　\(2\) 以上の自然数 \(n\) について \[ a _ {2n} +\textstyle\sum\limits _ {m=1}^{n-1} c _ {n-m} a _ {2m} =\dfrac{b _ {2n+1}}{2b _ 1} -\dfrac{c _ n}{2} \] が成立することを示せ.

\(a^2+b^2=1\) を満たす正の実数 \(a , b\) の全体を \(S\) とする. \(S\) に含まれる \((a, b)\) に対し, \(xyz\) 空間内に \(3\) 点 P \((a, b, b)\) , Q \((-a, b, b)\) , R \((0, 0, b)\) をとる. また原点を O とする. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　三角形 OPQ を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体を \(F _ 1\) とする. \((a, b)\) が \(S\) の中を動くとき, \(F _ 1\) の体積の最大値を求めよ.

2. (2)　三角形 PQR を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体を \(F _ 2\) とする. \(a = b = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\) のとき, \(F _ 2\) の \(xy\) 平面による切り口の周を \(xy\) 平面上に図示せよ.

3. (3)　三角形 OPR を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体を \(F _ 3\) とする. \((a, b)\) が \(S\) の中を動くとき, \(F _ 3\) の体積の最大値を求めよ.

関数 \(f(x) =x^3-x^2+x\) について, 以下の各問いに答えよ.

1. (1)　\(f(x)\) はつねに増加する関数であることを示せ.

2. (2)　\(f(x)\) の逆関数を \(g(x)\) とおく. \(x \gt 0\) について \[ \sqrt[3]{x} -1 \lt g(x) \lt \sqrt[3]{x} +1 \] が成立することを示せ.

3. (3)　\(b \gt a \gt 0\) について \[ 0 \lt \displaystyle\int _ a^b \dfrac{1}{x^2+1} \, dx \lt \dfrac{1}{a} \] が成立することを示せ.

4. (4)　自然数 \(n\) について, (2) で定義された \(g(x)\) を用いて \[ A _ n =\displaystyle\int _ n^{2n} \dfrac{1}{\{ g(x) \}^3 +g(x)} \, dx \] とおくとき, 極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} A _ n\) を求めよ.

座標空間内に \(5\) 点 \[ \text{P} \ (0,0,h) , \quad \text{Q} \ (t,0,0) , \quad \text{R} \ (0,t,0) , \quad \text{S} \ (-t,0,0) , \quad \text{T} \ (0,-t,0) \] をとる. ここで \(t , h\) は \(0 \lt t \lt 1 , \ h \gt 0\) を満たす実数である. また点 A \((1,1,0)\) と点 Q を結ぶ線分の長さは線分 PQ の長さと等しいとする. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　四角錘 PQRST の表面積を \(t\) を用いて表せ.

2. (2)　\(h\) を \(t\) を用いて表せ.

3. (3)　\(t\) が \(0 \lt t \lt 1\) の範囲で変化するとき, 四角錘 PQRST の体積の最大値を求めよ.

以下の各問いに答えよ. ただし \(t\) は \(0 \lt t \lt \pi\) を満たす実数とする.

1. (1)　次の等式を証明せよ. \[ \left( \cos \dfrac{t}{2} \right) \left( \cos \dfrac{t}{4} \right) \left( \cos \dfrac{t}{8} \right) = \dfrac{\sin t}{8 \sin \dfrac{t}{8}} \]

2. (2)　次のように定義される数列 \(\{ a _ n \}\) の極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} a _ n\) を \(t\) を用いて表せ. \[ a _ 1 = \cos \dfrac{t}{2} , \ a _ n = a _ {n-1} \left( \cos \dfrac{t}{2^n} \right) \quad ( n =2, 3, \cdots ) \]

3. (3)　数列 \(\{ b _ n \} , \{ c _ n \}\) を次のように定義する. \[\begin{align} b _ 1 & = \sqrt{\dfrac{1}{2}} , \ b _ n = \sqrt{\dfrac{1 +b _ {n-1}}{2}} \quad ( n = 2, 3, \cdots ) \\ c _ 1 & = \sqrt{\dfrac{1}{2}} , \ c _ n = c _ {n-1} b _ n \quad ( n = 2, 3, \cdots ) \end{align}\] このとき \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} c _ n\) を求めよ.

微分可能な関数 \(f(x) , g(x)\) が次の \(4\) 条件を満たしている.

1. (a)　任意の正の実数 \(x\) について, \(f(x) \gt 0 , \ g(x) \gt 0\)

2. (b)　任意の実数 \(x\) について, \(f(-x) =f(x) , \ g(-x) = -g(x)\)

3. (c)　任意の実数 \(x\) , \(y\) について, \(f(x+y) = f(x)f(y) +g(x)g(y)\)

4. (d)　\(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow 0} \dfrac{g(x)}{x} = 2\)

このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　\(f(0)\) および \(g(0)\) を求めよ.

2. (2)　\(\left\{ f(x) \right\}^2 -\left\{ g(x) \right\}^2\) を求めよ.

3. (3)　\(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow 0} \dfrac{1-f(x)}{x^2}\) を求めよ.

4. (4)　\(f(x)\) の導関数を \(g(x)\) を用いて表せ.

5. (5)　曲線 \(y = f(x)g(x)\) , 直線 \(x = a \ ( a \gt 0 )\) および \(x\) 軸で囲まれる図形の面積が \(1\) のとき, \(f(a)\) の値を求めよ.