座標平面または座標空間において, 座標成分がすべて整数である点を格子点という. 以下の各問いに答えよ.

1. (1)　\(C _ 1\) を座標平面上の半径 \(0.5\) の円とする. \(C _ 1\) が内部に格子点を含まないとき, \(C _ 1\) の中心 \((x, y)\) が存在しうる領域を \(0 \leqq x \leqq 2\) , \(0 \leqq y \leqq 2\) の範囲で図示せよ.

2. (2)　\(C _ 2\) を座標平面上の半径 \(0.75\) の円とする. \(C _ 2\) は中心をどのような位置に移動させても必ず内部に格子点を含むことを示せ.

3. (3)　\(S\) を座標空間内の半径 \(r\) の球とする. \(S\) は半径を変化させずに中心をどのような位置に移動させても, 必ず内部に格子点を含むとする. このとき \(r\) のとりうる値の範囲を求めよ. ここで \(S\) の内部とは, \(S\) からの距離が \(r\) より小さい点全体からなる集合のことである.

正の実数 \(a , b , c\) を係数とする \(2\) 次式 \(f(x)=ax^2+bx+c\) に関して, 次の条件 C を考える.

1. 条件 C： \(3\) で割り切れないすべての整数 \(x\) について \(f(x)\) が整数になる.

このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　\(f(x)\) が条件 C を満たすとき, \(g(x) = f(x+3) -f(x)\) は係数および定数項が整数となる \(1\) 次式であることを示せ.

2. (2)　条件 C を満たす \(f(x)\) のうち, \(f(1) = 1\) となるものを求めよ.

3. (3)　以下の条件 C' が条件 C と同値となるような自然数の組 \((m _ 1, m _ 2, m _ 3)\) のうち, \(m _ 1+m _ 2+m _ 3\) が最小となるものを求めよ.

   1. 条件C'： \(m _ 1b , \ m _ 2b , \ m _ 3b , \ a+b+c\) がいずれも整数となる.

4. (4)　\(n\) を自然数とする. 条件 C を満たす \(f(x)\) のうち, \(f(1) = n\) となるものの個数を \(n\) を用いて表せ.

関数 \(f(x) = \sin 2x +a \cos x\) について, 以下の各問いに答えよ.

1. (1)　\(f(x)\) が区間 \(-\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}\) の相異なる \(2\) 点で極値を取るような, \(a\) の値の範囲を求めよ.

2. (2)　\(a\) が (1) で求めた範囲にあるとき, \(\displaystyle\int _ {-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \big| f(x) \big| \, dx\) を \(a\) を用いて表せ.

3. (3)　\(a\) が (1) で求めた範囲にあるとき, \(f(x)\) が極値を取る \(x\) の値を \(x = \alpha , \beta \ \left( \text{ただし} -\dfrac{\pi}{2} \lt \alpha \lt \beta \lt \dfrac{\pi}{2} \right) \quad\) とする. \(\displaystyle\int _ {\alpha}^{\beta} \big| f(x) \big| \, dx\) を \(a\) を用いて表せ.

\(a , b , c\) を相異なる正の実数とするとき, 以下の各問いに答えよ.

1. (1)　次の \(2\) 数の大小を比較せよ. \[ a^3+b^3 , \ a^2b+b^2a \]

2. (2)　次の \(4\) 数の大小を比較せよ. \[\begin{align} & ( a+b+c ) ( a^2+b^2+c^2 ) , \ ( a+b+c ) ( ab+bc+ca ) , \\ & 3 ( a^3+b^3+c^3 ) , \ 9abc \end{align}\]

3. (3)　\(x , y , z\) を正の実数とするとき \[ \dfrac{y+z}{x} +\dfrac{z+x}{y} +\dfrac{x+y}{z} \] のとりうる値の範囲を求めよ.

座標空間において, \(8\) 点 O \(( 0, 0, 0 )\) , A \(( 1, 0, 0 )\) , B \(( 0, 1, 0 )\) , C \(( 0, 0, 1 )\) , D \(( 0, 1, 1 )\) , E \(( 1, 0, 1 )\) , F \(( 1, 1, 0 )\) , G \(( 1, 1, 1 )\) をとり, この \(8\) 点を頂点とする立方体を \(Q\) とする. また点 P \(( x , y , z )\) と正の実数 \(t\) に対し, \(6\) 点 \(( x+t , y , z )\) , \(( x-t , y , z )\) , \(( x , y+t , z )\) , \(( x , y-t , z )\) , \(( x , y , z+t )\) , \(( x , y , z-t )\) を頂点とする正八面体を \(\alpha _ t ( \text{P} )\) , その外部の領域を \(\beta _ t ( \text{P} )\) で表す. ただし, 立方体および正八面体は内部の領域も含むものとする. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　\(0 \lt t \leqq 1\) のとき, \(Q \cap \beta _ t ( \text{O} ) \cap \beta _ t ( \text{D} ) \cap \beta _ t ( \text{E} ) \cap \beta _ t ( \text{F} )\) の体積, すなわち \(5\) 個の領域 \(Q\) , \(\beta _ t ( \text{O} ) , \beta _ t ( \text{D} ) , \beta _ t ( \text{E} ) , \beta _ t ( \text{F} )\) の共通部分の体積を求めよ.

2. (2)　\(Q \cap \alpha _ 1 ( \text{O} ) \cap \beta _ 1 ( \text{A} ) \cap \beta _ 1 ( \text{B} ) \cap \beta _ 1 ( \text{C} )\) の体積を求めよ.

3. (3)　\(0 \lt t \leqq 1\) のとき \[ Q \cap \beta _ t ( \text{O} ) \cap \beta _ t ( \text{A} ) \cap \beta _ t ( \text{B} ) \cap \beta _ t ( \text{C} ) \cap \beta _ t ( \text{D} ) \cap \beta _ t ( \text{E} ) \cap \beta _ t ( \text{F} ) \cap \beta _ t ( \text{G} ) \] の体積を \(t\) で表せ.

\(xy\) 平面において, 次の円 \(C\) と楕円 \(E\) を考える. \[\begin{align} C & : \ x^2+y^2 = 1 \\ E & : \ x^2+\dfrac{y^2}{2} = 1 \end{align}\] また, \(C\) 上の点 P \(( s , t )\) における \(C\) の接線を \(l\) とする. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　\(l\) の方程式を \(s , t\) を用いて表せ.

以下, \(t \gt 0\) とし, \(E\) が \(l\) から切り取る線分の長さを \(L\) とする.

2. (2)　\(L\) を \(t\) を用いて表せ.

3. (3)　P が動くとき, \(L\) の最大値を求めよ.

4. (4)　\(L\) が (3) で求めた最大値をとるとき, \(l\) と \(E\) が囲む領域のうち, 原点を含まない領域の面積を \(A\) とする. \(A\) の値を求めよ.

ある硬貨を投げたとき, 表と裏がそれぞれ確率 \(\dfrac{1}{2}\) で出るとする. この硬貨を投げる操作を繰り返し行い, \(3\) 回続けて表が出たときこの操作を終了する. 自然数 \(n\) に対し,

• 操作がちょうど \(n\) 回目で終了となる確率を \(P _ n\)

• 操作が \(n\) 回以上繰り返される確率を \(Q _ n\)

とする. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　\(P _ 3 , P _ 4 , P _ 5 , P _ 6 , P _ 7\) をそれぞれ求めよ.

2. (2)　\(Q _ 6 , Q _ 7\) をそれぞれ求めよ.

3. (3)　\(n \geqq 5\) のとき, \(Q _ n -Q _ {n-1}\) を \(Q _ {n-4}\) を用いて表せ.

4. (4)　\(n \geqq 4\) のとき, \(Q _ n \lt \left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{n-3}{4}}\) が成り立つことを示せ.

座標平面において, 原点を O とし, 次のような3点 P , Q , R を考える.

1. (a)　点 P は \(x\) 軸上にあり, その \(x\) 座標は正である.

2. (b)　点 Q は第 \(1\) 象限にあって, \(\text{OQ} = \text{QP} = 1\) を満たす.

3. (c)　点 R は第 \(1\) 象限にあって, \(\text{OR} +\text{RP} = 2\) を満たし, かつ線分 RP が \(x\) 軸に垂直となる.

ただし, 座標軸は第 \(1\) 象限に含めないものとする. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　上の条件を満たす \(2\) 点 Q , R が存在するような, 点 P の \(x\) 座標が取りうる値の範囲を求めよ.

2. (2)　(1) の範囲を点 P が動くとき, 線分 QR が通過する領域を図示し, その面積を求めよ.

3. (3)　線分 OP の中点を M とする. (1) の範囲を点 P が動くとき, 四角形 MPRQ の面積を最大にする点 P の \(x\) 座標を求めよ.