自然数 \(n\) に対し \[\begin{align} S _ n & = \displaystyle\int _ 0^1 \dfrac{1 -(-x)^n}{1+x} \, dx \\ T _ n & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \dfrac{(-1)^{k-1}}{k( k+1 )} \end{align}\] とおく. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　次の不等式を示せ. \[ \left| S _ n -\displaystyle\int _ 0^1 \dfrac{1}{1+x} \, dx \right| \leqq \dfrac{1}{n+1} \]

2. (2)　\(T _ n -2S _ n\) を \(n\) を用いて表せ.

3. (3)　極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} T _ n\) を求めよ.