\(a , b , c , d , e\) を正の実数として整式 \[\begin{align} f(x) & = ax^2 +bx +c \\ g(x) & = dx +e \end{align}\] を考える. すべての正の整数 \(n\) に対して, \(\dfrac{f(n)}{g(n)}\) は整数であるとする. このとき, \(f(x)\) は \(g(x)\) で割り切れることを示せ.

\(2\) つの関数を \[ f _ 0 (x) = \dfrac{x}{2} , \ f _ 1 (x) = \dfrac{x+1}{2} \] とおく. \(x _ 0 = \dfrac{1}{2}\) から始め, 各 \(n = 1, 2, \cdots\) について, それぞれ確率 \(\dfrac{1}{2}\) で \(x _ n = f _ 0 ( x _ {n-1} )\) または \(x _ n = f _ 1 ( x _ {n-1} )\) と定める. このとき, \(x _ n \lt \dfrac{2}{3}\) となる確率 \(P _ n\) を求めよ.

座標空間における次の $3$ つの直線 $l , m , n$ を考える：

• $l$ は点A $( 1 , 0 , -2 )$ を通り, ベクトル $\overrightarrow{u} = ( 2 , 1 , -1 )$ に平行な直線である.
• $m$ は点B $( 1 , 2 , -3 )$ を通り, ベクトル $\overrightarrow{v} = ( 1 , -1 , 1 )$ に平行な直線である.
• $n$ は点C $( 1 , -1 , 0 )$ を通り, ベクトル $\overrightarrow{w} = ( 1 , 2 , 1 )$ に平行な直線である.

P を $l$ 上の点として, P から $m , n$ へ下ろした垂線の足をそれぞれ Q , R とする. このとき, $\text{PQ}^2 +\text{PR}^2$ を最小にするような P と, そのときの $\text{PQ}^2 +\text{PR}^2$ を求めよ.

$2$ つの粒子が時刻 $0$ において △ABC の頂点 A に位置している. これらの粒子は独立に運動し, それぞれ $1$ 秒ごとに隣の頂点に等確率で移動していくとする. たとえば, ある時刻で点 C にいる粒子は, その $1$ 秒後には点 A または点 B にそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ の確率で移動する. この $2$ つの粒子が, 時刻 $0$ の $n$ 秒後に同じ点にいる確率 $p(n)$ を求めよ.

△ABC は, 条件 $\angle \text{B} = 2 \angle \text{A}$ , $\text{BC} = 1$ を満たす三角形のうちで面積が最大のものであるとする. このとき, $\cos \angle \text{B}$ を求めよ.

実数の定数 $a , b$ に対して, 関数 $f(x)$ を $$ f(x) = \dfrac{ax +b}{x^2 +x +1} $$ で定める. すべての実数 $x$ で不等式 $$ f(x) \leqq {f(x)}^3 -2 {f(x)}^2 +2 $$ が成立するような点 $( a , b )$ の範囲を図示せよ.

自然数 $a , b$ はどちらも $3$ で割り切れないが, $a^3 +b^3$ は $81$ で割り切れる. このような $a , b$ の組 $( a , b )$ のうち, $a^2 +b^2$ の値を最小にするものと, そのときの $a^2 +b^2$ の値を求めよ.

双曲線 $y = \dfrac{1}{x}$ の第 $1$ 象限にある部分と, 原点 O を中心とする円の第 $1$ 象限にある部分を, それぞれ $C _ 1 , C _ 2$ とする. $C _ 1$ と $C _ 2$ は $2$ つの異なる点 A, B で交わり, 点 A における $C _ 1$ の接線 $l$ と線分 OA のなす角は $\dfrac{\pi}{6}$ であるとする. このとき, $C _ 1$ と $C _ 2$ で囲まれる図形の面積を求めよ.