\(p\) を \(3\) 以上の素数とする. \(4\) 個の整数 \(a , b , c , d\) が次の \(3\) 条件 \[ a+b+c+d = 0 , \ ad-bc+p = 0 , \ a \geqq b \geqq c \geqq d \] を満たすとき, \(a , b , c , d\) を \(p\) を用いて表せ.

点 O を中心とする円に内接する △ABC の \(3\) 辺 AB, BC, CA をそれぞれ \(2 : 3\) に内分する点を P, Q, R とする. △PQR の外心が点 O と一致するとき, △ABC はどのような三角形か.

\(A\) を \(2\) 次の正方行列とする. 列ベクトル \(\overrightarrow{x _ 0}\) に対し, 列ベクトル \(\overrightarrow{x _ 1} , \overrightarrow{x _ 2} , \cdots\) を \[ \overrightarrow{x _ {n+1}} = A \overrightarrow{x _ n} \quad ( n = 0, 1, 2, \cdots ) \] によって定める. ある零ベクトルではない \(\overrightarrow{x _ 0}\) について, \(3\) 以上の自然数 \(m\) で初めて \(\overrightarrow{x _ m}\) が \(\overrightarrow{x _ 0}\) と一致するとき, 行列 \(A^m\) は単位行列であることを示せ.

すべての実数で定義され何回でも微分できる関数 \(f(x)\) が \(f(0)=0\) , \(f'(0)=1\) を満たし, さらに任意の実数 \(a , b\) に対して \(1+ f(a) f(b) \neq 0\) であって \[ f( a+b ) = \dfrac{f(a) + f(b)}{1+ f(a) f(b)} \] を満たしている.

1. (1)　任意の実数 \(a\) に対して, \(-1 \lt f(a) \lt 1\) であることを証明せよ.

2. (2)　\(y = f(x)\) のグラフは \(x \gt 0\) で上に凸であることを証明せよ.

次の各問に答えよ.

1. (1)　\(a\) が正の実数のとき \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( 1+a^n \right)^{\frac{1}{n}}\) を求めよ.

2. (2)　定積分 \(\displaystyle\int _ 1^{\sqrt{3}} \dfrac{1}{x^2} \log \sqrt{1+x^2} \, dx\) の値を求めよ.

正四面体 OABC において, 点 P, Q, R をそれぞれ辺 OA, OB, OC 上にとる. ただし P, Q, R は四面体 OABC の頂点とは異なるとする. △PQR が正三角形ならば, \(3\) 辺 PQ, QR, RP はそれぞれ \(3\) 辺 AB, BC, CA に平行であることを証明せよ.

実数 \(x , y\) が条件 \(x^2 +xy +y^2 =6\) を満たしながら動くとき \[ x^2y +xy^2 -x^2 -2xy -y^2 +x +y \] がとりうる値の範囲を求めよ.

1. (1)　\(\sqrt[3]{2}\) が無理数であることを証明せよ.

2. (2)　\(P(x)\) は有理数を係数とする \(x\) の多項式で, \(P( \sqrt[3]{2} ) =0\) を満たしているとする. このとき \(P(x)\) は \(x^3-2\) で割り切れることを証明せよ.